całka potrójna - parametryzacja

[redemptorek]

Mamy obliczyć \(\displaystyle{ \int t\limits_{V} t (x^{2} + y^{2} + z^{2})dV}\), gdzie \(\displaystyle{ V: 3(x^{2} + y^{2}) + z^{2} qslant 12}\).
Ten obszar przestrzeni jest elipsoidą: \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{4} + \frac{y ^{2} }{4} + \frac{z ^{2} }{12} qslant 1}\). Stąd: \(\displaystyle{ x_{0}, y_{0} = 2, z_{0} = 2 \sqrt{3}}\)
Czy dla danej elipsoidy mogę współrzędne sferyczne przyjąć w poniższy sposób???:
\(\displaystyle{ x=2rcos\phi cos\theta\\y=2rcos\phi sin\theta\\z=2 \sqrt{3} rsin\phi\\ \\
J=8 \sqrt{3} r ^{2} cos\phi\\ \\ \phi \\ \theta \\ r }\)

[soku11]

Jak dla mnie to powinno byc sparametryzowane podobnie jak sfera, tj:
\(\displaystyle{ b\begin{cases}
x=2\rho\cos\theta\cos\varphi\\
y=2\rho\cos\theta\sin\varphi\\
z=2\sqrt{3}\rho\sin\theta\end{cases}\\
|J|=-8\sqrt{3}\rho^2\cos\theta\\
\rho\in[0;1]\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\theta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]}\)

POZDRO

[redemptorek]

gdy odpowiadałeś widoczna była chyba jeszcze zła wersja posta - poprawiłem i teraz figuruje to, co miałem na myśli - widzę, że raczej się zgadzamy, dlaczego jednak \(\displaystyle{ r }\), tzn u Ciebie \(\displaystyle{ \rho}\)

[ Dodano: 14 Czerwca 2008, 22:50 ]
myślę, że masz rację z przedziałem \(\displaystyle{ \rho}\)
dzięki, pozdrawiam!

[soku11]

No to po pierwsze, blad w znaku jakobianu
Po drugie zle wyznaczone granice katow - popatrz na moja parametryzacje.

A co do zakresu zmian kata \(\displaystyle{ \rho}\), to jest ok.
Jak nie wierzysz, mozesz dwa razy sparametryzowac, najpierw podstaw:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=2u\\
y=2v\\
z=2\sqrt{3}w\end{cases}\\
|J|=8\sqrt{3}\\
u^2+v^2+w^2\leqslant 1}\)

I to jest juz zwykla sfera o srodku (0,0,0) i promieniu 1. Teraz parametryzujesz zmienne u,v,w jak zwykla sfere, co ci daje zakres zmian kata taki jak podalem. Poza jakobianem sie wiec nic nie zmienia POZDRO

[redemptorek]

"No to po pierwsze, blad w znaku jakobianu"
ok ok, a Twój jakobian (ten poierwszy) nie ma \(\displaystyle{ \rho ^{2}}\), mając za to jednocześnie moduł i minusa
"Po drugie zle wyznaczone granice katow - popatrz na moja parametryzacje."
'granice' raczej są ok, albo czegoś nie dostrzegam...

dla mnie już wsko jasne, prześledziłem też tokiem, który zaproponowałeś
dzieki!

[soku11]

No rzeczywiscie jakims cudem nie zapisalem w moim jakobianie \(\displaystyle{ \rho^2}\). Teraz twoje granice sa juz ok POZDRO