Całeczka

[skowron]

Mam problem z całkami takiego typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2+x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{(x+1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}\)

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} dx = t \frac{dx}{x^2 + 1} + t \frac{2x dx}{(x^2 + 1)^2}}\)
W drugiej podstawienie:
\(\displaystyle{ t = x^2 + 1 \\
\ldots = arctgx - \frac{1}{x^2 + 1} + C}\)

[skowron]

A jak poradzić sobie z tą pierwszą?

[Wasilewski]

Dopiero wynik zasugerował mi podstawienie:
\(\displaystyle{ t = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \\
x^2 = \frac{t^2}{1-t^2} \\
x^2 + 1 = \frac{1}{1-t^2} \\
dx = \frac{dt (1+x^2)}{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}} = \frac{ dt \frac{1}{1-t^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} - \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}} = \frac{dt}{(1-t^2)^{\frac{3}{2}}}}\)
Teraz przekształćmy trochę funkcję podcałkową:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1+x^2}}{1 + 1 + x^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}}\)
Wstawmy podstawienie:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{1-t^2 + (1-t^2)^2} = t \frac{dt}{(t+1)(t-1) (t + \sqrt{2})(t-\sqrt{2})}}\)
I dalej rozkład na ułamki proste, mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

[skowron]

Czyli żeby samemu wpaść na takie podstawienie to trzeba mieć już spore doświadczenie.... Dzięki za pomoc