Zadanie tekstowe na zastosowanie całki oznaczonej

[figur]

Oblicz parcie cieczy na płytkę w kształcie rombu o długości boku \(\displaystyle{ a}\) i kącie ostrym \(\displaystyle{ \frac{ \pi}{3}}\) zanurzoną pionowo w cieczy tak, że jeden z jego wierzchołków przy kącie ostrym dotyka powierzchni cieczy, a przekątna rombu wychodząca z tego wierzchołka jest ustawiona pionowo. Ciężar właściwy cieczy wynosi \(\displaystyle{ \gamma}\).

[hafilip84]

Nie wiem czy jest tu sens korzystać z rachunku całkowego... Romb ma dwie osie symetrii, więc środek ciążkości będzie leżał na przecięciu przekątnych... Z kolei parcie na powierzchnię płaską jest równe iloczynowi pola powierzchni i ciśnienia w środku ciężkości...
Czyli środek ciężkości masz na głębokości \(\displaystyle{ z = \frac{a \cdot \sqrt{3} }{2}}\), ciśnienie jest równe iloczynowi głębokości i ciężaru objętościowego (a nie właściwego): \(\displaystyle{ p = z \cdot \gamma = \frac{ a \cdot \gamma \sqrt{3}}{2}}\). Pole powierzchni \(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt{3} = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}}\). I w końcu \(\displaystyle{ P = S \cdot p = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{ a \cdot \gamma \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \cdot a^{3} \cdot \gamma}\).
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem przy wklepywaniu... Dopiero się uczę TeX'a...

[figur]

No tak, wynik się zgadza, więc wychodzi na to, że wszystko napisałeś OK:) Tyle tylko, że właśnie to zadanie mam na zastosowanie rachunku całkowego... i kurcze kompletnie nie mam pomysłu jak tu się za to zabrać... (nie ukrywam, że z fizyki to ja raczej noga jestem:P) Także, jeśli można, to ja bardzo ładnie proszę, aby rozpracować to jeszcze całkowo:)

[hafilip84]

No to jedyne co mi przychodzi do głowy, to wpisać romb w układ współrzędnych i policzyć jego pole... Ale to jak wybierać się kombajnem po jedno ziarno...

[figur]

EEE, to raczej by była droga z Krakowa nad Bałtyk, tyle że przez Himalaje. Na ćwiczeniach robiliśmy podobne zadanie i tam całkę zastosowaliśmy prze liczeniu bodajże wysokości trójkąta. Z tym że domyślam się, że w trójkącie inaczej wypada ten punkt ciężkości...