sumy szeregów

[Hania_87]

Zbadać sumy szeregów potęgowych.
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{1 2} - \frac{x^3}{2 3} +...+(-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}+...}\)

[Wasilewski]

Dwa razy zróżniczkuj, a potem dwa razy scałkuj.

[Hania_87]

już tak robiłam i mi nie wychodzi

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n+1}}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} t_{0}^{x} t_{0}^{x} (-x)^{n-1} dx dx = t_{0}^{x} t_{0}^{x} \frac{1}{1+x} dx dx = (x+1)ln(x+1) - x}\)

[Hania_87]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n-1}\frac { x^{n+1}}{{n(n+1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} t_{0}^{x} t_{0}^{x} (-x)^{n-1} dx dx = t_{0}^{x} t_{0}^{x} \frac{1}{1+x} dx dx = (x+1)ln(x+1) - x}\)

nie rozumie tego

[Wasilewski]

Najpierw korzystam z tego:
\(\displaystyle{ (-1)^{n-1} t_{0}^{x} t_{0}^{x} x^{n-1} dx dx = (-1)^{n-1} t_{0}^{x} \frac{x^n}{n} dx = (-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}}\)
Zatem zachodzi oczywiście równość:
\(\displaystyle{ (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)} = t_{0}^{x} t_{0}^{x} (-1)^{n-1} x^{n-1} dx dx = t_{0}^{x} t_{0}^{x} (-x)^{n-1} dx dx}\)
Potem korzystam z twierdzenia o całkowaniu szeregów (zamieniam kolejność całkowania i sumowania):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} t_{0}^{x} t_{0}^{x} (-x)^{n-1} dx dx = t_{0}^{x} t_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^{n-1} dx dx = t_{0}^{x} t_{0}^{x} \frac{1}{1+x} dx dx}\)
Potem wykonuję to całkowanie i tak otrzymałem wynik; mam nadzieję, że poprawny.

[Hania_87]

a z całki pojedyńczej?

[Wasilewski]

No nie bardzo, bo tu trzeba dwa razy całkować.

[Hania_87]

to bardzo dziwne, bo te zadanie jest z Banasia z rozdziału 16, a w materiale nie miałam całek podwójnych, tylko pojedyńcze

[Wasilewski]

No to wyobraź sobie, że najpierw całkujesz raz, a potem drugi raz.

[Mbach]

Hmm, tu nie została zastosowana całka podwójna, ale iterowana. Popatrz na oznaczenia. Całke podwójną zapisuje się troche inaczej - pod znakiem całki podwójnej pojawia się obszar po którym całkujesz.