Ile wynoszą sumy danych szeregów:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{(n-1)!}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5}{n!}}\)
Suma szeregu
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3879
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Suma szeregu
\(\displaystyle{ \frac{n^3}{(n-1)!} = \frac{(n-3)(n-2)(n-1) + 6(n-2)(n-1) + 7(n-1) + 1}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-4)!} + \frac{6}{(n-3)!} + \frac{7}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}}\)
A dalej kombinuj. Mam nadzieję, że wszystkie wyrazy, w których jest silnia z liczb ujemnych nie mają wpływu na wynik.
EDIT: Chyba założenie jest słuszne, bo policzenie sumy pierwszych 170 wyrazów w arkuszu kalkulacyjnym daje bardzo podobny wynik. A wręcz oczywiste, bo przecież:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-4)!} = \frac{(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-1)!}}\)
Widać, że dla n=1,2,3 licznik się zeruje, a mianownik jest w porządku. Zatem oczywiście można tę sumę uprościć do:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{15}{(k-1)!} = 15 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}}\)
Czyli wynik będzie taki, jak się spodziewałem.
A dalej kombinuj. Mam nadzieję, że wszystkie wyrazy, w których jest silnia z liczb ujemnych nie mają wpływu na wynik.
EDIT: Chyba założenie jest słuszne, bo policzenie sumy pierwszych 170 wyrazów w arkuszu kalkulacyjnym daje bardzo podobny wynik. A wręcz oczywiste, bo przecież:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-4)!} = \frac{(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-1)!}}\)
Widać, że dla n=1,2,3 licznik się zeruje, a mianownik jest w porządku. Zatem oczywiście można tę sumę uprościć do:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{15}{(k-1)!} = 15 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}}\)
Czyli wynik będzie taki, jak się spodziewałem.