Laplace, pochodne cząstkowe, metryka, gradient

[kawafis44]

Witam!
Mam kilka zadań z egzaminu (to co zapamiętałem), których nie udało mi się rozwiązać:

1. \(\displaystyle{ (e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = ?}\)
2. \(\displaystyle{ L[-\frac{s}{(s-1)^2+9}] = ?}\)
3. \(\displaystyle{ L^{-1}[cos \frac{t}{2}] = ?}\)
4. Jeśli funkcja f dwóch zmiennych jest ciągła w obszarze
\(\displaystyle{ D = \lbrace (x,y): a \leqslant y \leqslant b, \ p(y) \leqslant x \leqslant q(y), \ p,q-cont. \rbrace}\) to
\(\displaystyle{ \int \int_{D} f(x,y)dxdy = ?}\)
5. \(\displaystyle{ \forall a \in R \ a = arcctg b \Leftrightarrow b = ctg a \wedge a \in (0, \pi)}\) - czy jest to dobrze uzupełnione?
6. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ z = \frac{x}{y}}\). Znaleźć \(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}}\). Czy są one sobie równe: ..... jeśli .......
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} = \frac{y^2}{y} = \frac{1}{y}}\) - tak to policzyłem
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x'_x \cdot y - x \cdot y'_x}{y^2} = \frac{1}{y}}\) - a to policzyłem tak, ale ponoć nie można tego w ten sposób zapisać
no i czy oraz kiedy są one sobie równe?
7. Były cztery przykłady tego typu
a. \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} \int_{x}^{y} \frac{sint}{t} dt = ?}\)
b. \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \int_{-1}^{1} ... = ?}\)
prosiłbym o jakieś ogólne rady jak coś w tym stylu rozwiązać
8. Niech (S,d) będzie przestrzenią metryczną i \(\displaystyle{ A \subset S}\). Wtedy frontier (brzeg?) A wynosi
A. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon > 0} B(P, \epsilon) \cap A \neq \emptyset \rbrace}\)
B. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon > 0} \exists _{Q_1 \in A} \exists _{Q_2 \in A'} \lbrace Q_1,Q_2 \rbrace \subset B(P,\epsilon) \rbrace}\)
C. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \exists _{\epsilon >0} B(P, \epsilon) \cap A \neq \emptyset \wedge B(P,\epsilon) \cap A' \neq \emptyset \rbrace}\)
D. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon >0} B(P, \epsilon) \cap A \neq \emptyset \wedge B(P,\epsilon) \cap A' \neq \emptyset \rbrace}\)
9. (S,d) jest przestrzenią metrycną, zaś \(\displaystyle{ A \subset S}\). Wnętrze A' to:
A. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \exists _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \cap A = \emptyset}\)
B. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \cap A = \emptyset}\)
C. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \cap A \neq \emptyset}\)
D. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \exists _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \cap A \neq \emptyset}\)
E. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \exists _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \subset A'}\)
F. \(\displaystyle{ \lbrace P \in S: \forall _{\epsilon>0} B(P,\epsilon) \subset A'}\)
zadania 8 i 9 nie rozumiem, prosiłbym z wyjaśnieniem, dlaczego
10. Polecenie brzmiało mniej więcej tak: Dla funkcji dwóch argumentów suma Riemanna wynosi: ....
gdzie f jest ...., D jest ....
wartość ta zależy od ..., ..., ..., ...
Uzupełniłem tak \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f(\xi _i , \eta _i) D_i}\)
f jest - tego nie wiem
D jest \(\displaystyle{ (\xi _i, \eta _i) \in D}\) - nie wiem, czy dobrze
wartość ta zależy od - nie wiem, od czego
11. Definicja Cauchy'ego dla \(\displaystyle{ \lim_{x \to b^-} f(x) = a}\)
12. Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu to
A. \(\displaystyle{ gradf|_P}\)
B. \(\displaystyle{ || gradf|_P ||}\)
C. \(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}|_P + \frac{\partial z}{\partial y}|_P}\)
D. pierwiastek, a pod pierwiastkiem coś podobnego do punktu C
zaznaczyłem B i D - czy dobrze?
13. Nie pamiętam do końca treści: Załóż, że funkcja f jest funkcją dwóch zmiennych. Ustal zbiory E - zbiór punktów stacjonarnych, A - punktów ekstremalnych i jeszcze jakiś trzeci.

Wiem, że trochę dużo jest tych poleceń , niemniej wdzięczny będę za pomoc.
Pozdrawiam!

PS. Czy ostatnio są jakieś problemy z serwerem, bo często nie wczytuje żadnej strony z serwisu przez dłuższy czas?

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ (e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} =
\lim_{h\to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h}=
e^x \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=\circ\\
e^h-1=t\\
e^h=t+1\\
\ln e^h=\ln (t+1)\\
h=\ln (t+1)\\
\circ = e^x \lim_{t\to 0} \frac{t}{\ln (t+1)}=
e^x \lim_{t\to 0} \frac{1}{\frac{1}{t}\ln(t+1)}=
e^x \lim_{t\to 0} \frac{1}{\ln(1+t)^{\frac{1}{t}}}=
e^x \frac{1}{\ln e}=e^x}\)

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:05 ]
4.
\(\displaystyle{ \iint_{D}^{}\ f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y=\int\limits_{a}^{b}\mbox{d}y \int\limits_{p(y)}^{q(y)}\ f(x,y)\mbox{d}x}\)

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:11 ]
5. Wedlug mnie np. tak:
\(\displaystyle{ \forall_{b\in\mathbb{R}}\ \ a = \mbox{arcctg} b\ \leftrightarrow\ b = \mbox{ctg} a\ \wedge\ a \in (0, \pi)}\)

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:20 ]
6. Wedlug mnie to \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}}\) stosowane jest do zapisu funkcji jednej zmiennej, czyli: \(\displaystyle{ z(x)=\frac{x}{y}}\). Natomiast \(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial y}}\) jest przeznaczone do funkcji wielu zmiennych, czyli: \(\displaystyle{ z(x,y)=\frac{x}{y}}\). W zwiazku z czym nie za bardzo rozumiem tresci tego zadania... Moze chodzi o to, ze sa sobie rowne tylko dla \(\displaystyle{ y\neq 0}\)... Trudno powiedziec.

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:26 ]
7.
a)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_{x}^{y} \frac{\sin t}{t}\mbox{d}t=
-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_{y}^{x} \frac{\sin t}{t}\mbox{d}t=
- \frac{\sin x}{x}\cdot (x)'_x=-\frac{\sin x}{x}}\)

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:38 ]
b) Tutaj bedziesz mial 0 Z definicji wiadomo, ze taka calka oznaczona bedzie polem pod wykresem, czyli jakas liczba. A skoro to liczba, to jej pochodna wzgledem niezaleznie jakies zmiennej bedzie rowna 0

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:39 ]
10. Popatrz tutaj dla przykladu z funkcja jednej zmiennej. Dla dwoch sie definiuje podobnie:

https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=36619

[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 02:43 ]
11.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to b^-}\ f(x) = a \iff
\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x D_f}\; ft(b - \delta < x < b |f(x) - a| < \varepsilonright)}\)

Wiecej nie umiem POZDRO

[Wasilewski]

A czy w drugim i trzecim nie powinno być na odwrót, to znaczy w drugim transformata odwrotna, a w 3 zwykła?
7) Soku11, a co powiesz na:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \int_{-1}^{1} e^{sx} ds}\)
?
8) Zapewne wiesz, że \(\displaystyle{ B(P, \epsilon)}\) to kula o środku w punkcie P i danym promieniu. A brzeg to zbiór takich punktów, że część punktów każdej kuli o środku na brzegu należy do A, a część do A', stąd odpowiedzi b i d.
9) Tu chodzi o wszystkie punkty, które jeśli będą środkami kul, to istnieją takie promienie, że żadne punkty tych kul nie należą do A. Stąd odpowiedzi A i E.
W tych dwóch zadaniach proszę o weryfikację, bo dawno nie bawiłem się metrykami.
12) Chyba pochodna kierunkowa to:
\(\displaystyle{ \nabla f \circ \vec{h}}\)
W tym przypadku wektor kierunkowy ma kierunek i zwrot zgodny z gradientem, ale ma mieć długość równą 1, czyli:
\(\displaystyle{ \vec{h} = \frac{\nabla f}{||\nabla f||}}\)
Zatem pochodna kierunkowa to:
\(\displaystyle{ \nabla_{h} f = \nabla f \circ \frac{\nabla f}{||\nabla f||} = \frac{1}{||\nabla f||} \cdot \nabla f \circ \nabla f = \frac{1}{||\nabla f||} \cdot ||\nabla f||^2 = ||\nabla f||}\)
Zatem na pewno odpowiedź B, a czy D jest też dobra, to nie jestem w stanie stwierdzić.
6)
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} = \frac{(x)' y - x y'}{y^2} = \frac{y - xy'}{y^2}}\)
Natomiast przy obliczaniu pochodnej cząstkowej traktujesz y jako stałą:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y}}\)
Są one równe, gdy y nie zależy od x.
13) E to zbiór takich punktów, w których obie pochodne cząstkowe się zerują, a zbiór C stanowią takie elementy zbioru E, dla których hesjan jest dodatni.

[kawafis44]

Soku11, Wasilewski - jesteście wielcy !
2,3) zapewne rzeczywiście się pomyliłem i powinno być odwrotnie, w pierwszym odwrotna, w drugim zwykła transformacja
6) czyli jak rozumiem one równe jeśli y nie zależy od x (jak to zapisać symbolicznie?), natomiast y nie musi być różne od 0
7) gdzie mogę znaleźć podobne przykłady, żebym zrozumiał jak liczyć pochodne z całek?
10)f jest całkowalna na przedziale ? a reszta chyba ok?
12) w D zdaje mi się, że pod pierwiastkiem było dokładnie to, co w C
13) jak ustalić zbiór takich punktów (w jaki sposób można zapisać przykładowy taki zbiór?)
Pozdrawiam!

[Wasilewski]

No to:
2)
\(\displaystyle{ F(s) = - \frac{s-1 + 1}{(s-1)^2 + 3^2} = - \left( \frac{s-1}{(s-1)^2 + 3^2} + \frac{1}{3}\frac{3}{(s-1)^2 + 3^2}\right)}\)
Obie są przesunięte, w pierwszej rozpoznajemy transformatę cosinusa, a w drugiej sinusa, zatem oryginał transformaty to:
\(\displaystyle{ f(t) = -e^{t} \left(cos(3t) + \frac{1}{3} (sin3t)\right)}\)
3)
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \lbrace cos(at) \rbrace = \frac{s}{s^2 + a^2}}\)
A tu \(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}}\)
Jeśli jednak miało być z definicji, to napisz.
6) Oczywiście y musi być różne od zera, żeby funkcja miała sens. Niestety nie wiem, jak to zapisać symbolicznie (tę niezależność).
13)
\(\displaystyle{ E = \lbrace (x_0, y_0): x_0, y_0 \in D_f \ \wedge \ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}_{|(x_0,y_0)} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}_{|(x_0, y_0)} = 0 \end{cases} \rbrace \\
A = \lbrace (x_0,y_0): x_0, y_0 \in E \ \wedge \ \left( \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)_{(x_0, y_0)} \cdot \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)_{(x_0,y_0)} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2_{(x_0,y_0)} > 0 \right) \rbrace}\)
To lepiej, żeby ktoś sprawdził, czy tak może być.
7) Poszukaj na forum.

[soku11]

Wasilewski, apropo 7 - rzeczywiscie racja Moje male niedopatrzenie POZDRO

[kawafis44]

co do siódmego - niestety znalazłem tylko jeden temat, bardzo krótki zresztą https://www.matematyka.pl/21405.htm?highlight=
gdzie mogę znaleźć więcej przykładów, które by mi pomogły w zrozumieniu zad.7 i zad.13.?
pozdrawiam!

[soku11]

Co do 7, to masz ogolnie:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\int\limits_{\alpha}^{g(x)} f(t)\mbox{d}t=
f(\ g(x)\ )\cdot g'(x)\\
\mbox{gdzie}\ \ \mbox{stala}}\)

POZDRO

[Wasilewski]

Tu w sumie nie ma żadnej filozofii. Korzysta się z dwóch twierdzeń:

[kawafis44]

Co do szóstego otzymałem taką sugestię: \(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{y} + \frac{-x}{y^2} \frac{dy}{dx}}\), gdzie dy/dx=0, jeśli y nie zależy od x. Skąd się wzięło takie przekształcenie i czy jest ono równoznaczne z tym, co napisał Wasilewski?


� propos czwartego jaki mógłby być inny, podobny przykład? Jakby się rozwiązało, gdyby zamiast \(\displaystyle{ a q y q b, \ p(y) q x q q(y)}\) było np. \(\displaystyle{ a q y q b, \ p(y) q x q q(y)}\) albo \(\displaystyle{ a q y q b, \ p(y) q x q q(y)}\) ?? Albo < zamiast \(\displaystyle{ \leq}\)? Bo w zasadzie to nie za bardzo wiem, skąd się wziął taki wynik.


i zadanie z sumą Riemanna
wydaje mi się, że wynosi ona: suma od i=1 do n f(ksi i, eta i)Di
nie wiem, co z f - ciągła czy może całkowalna na jakimś przedziale?
D czym jest - zamknięty, ograniczony, regularny obszar? czy to wystarcz?y
i wreszcie od czego zależy, czy będzie to n, lambda n, delta Di (powierzchnia pojedynczego obszaru) i {Pn} - czy może coś pominąłem, za mało jest albo coś źle?


Ad 8. Powiedziano mi, że odpowiedź b nie jest prawidłowa, bo uwzględnia punkty znajdujące się bardzo blisko brzegu. Czy jest to możliwe?
Ad 9. Zasugerowano mi odpowiedź D i tylko ją. Czy więc będzie to D zamiast A i E?


Ad 13. To który zbiór, C czy A, to jest podzbiór E? Czytam, że "zbiór C stanowią takie elementy zbioru E, dla których hesjan jest dodatni", a widzę wzór \(\displaystyle{ A= \lbrace (x0,y0) \in E \wedge (.,.. >0) \rbrace}\)

Pozdrawiam:)!

[Wasilewski]

6) Dokładnie to, co napisałem. Po prostu u mnie \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = y'}\)
8) Może i tak być.
9) Tu się nie zgodzę, o ile dobrze przepisałeś polecenie. Przecież odpowiedź D opisuje cały zbiór S; zawsze możemy sobie wybrać na tyle duży promień, by kula zahaczyła o zbiór A.
13) Oczywiście miało być A zamiast C.

[kawafis44]

czy jeśli \(\displaystyle{ D= \lbrace (x,y) : a qslant y qslant, \ p(y) qslant x qslant q(y), \ p,q \ - \ ciagle \rbrace}\) to \(\displaystyle{ \int t _D f(x,y)dxdy = t_{p(x)}^{q(x)} f(x,y)dx t_{a}^{b} dy}\) ??
i czy mając np. obszar \(\displaystyle{ D= \lbrace (x,y) : x^2+y^2 qslant 2 x qslant 0 y qslant x \rbrace}\) zapisuję go potem jako \(\displaystyle{ \Delta = \lbrace (\phi , r): \frac{\pi}{4} qslant \phi qslant \frac{\pi}{2} 0 qslant r qslant \sqrt{2} \rbrace}\) czy jako \(\displaystyle{ D = \lbrace (\phi , r): \frac{\pi}{4} qslant \phi qslant \frac{\pi}{2} 0 qslant r qslant \sqrt{2} \rbrace}\) a może to nie ma żadnej różnicy?
pozdro

[soku11]

Nie mozesz tak zamienic kolejnosci calkowania, bo calka ci nie wyjdzie jako liczba, tylko jako funkcja h(x)! Aby zamienic kolejnosc musisz miec dane funkcje i na ich podstawie zmienic odpowiednio granice. Takze to twoje przeksztalcenie jest bledne.
Co do oznaczen, to twoj obszar D jest dany we wspolrzednych kartezjanskich. Jesli zmieniasz zmienne, to zmieniasz takze obszar. Ja bym powiedzial, ze trzeba uzyc innego oznaczenia dla tego obszaru (i nalezy pamietac o jakobianie). POZDRO

[kawafis44]

[2] W jaki sposób mam zastosować tutaj jakobian? Wiem, że jest to wyznacznik macierzy zbudowanej z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, ale nie wiem, jak to mam tutaj zastosować.


[3] Mam zadanie takie:
Różniczką zupełną funkcji z=f(x,y) nazywamy wyrażenie ..., jeżeli ................
Mam definicję taką:
Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych x i y. Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0) D}\) wtedy i tylko wtedy, gdy przyrost f może zostać zapisany w formie \(\displaystyle{ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)-f(x_0 , y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} |_{(x_0,y_0)} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} |_{(x_0,y_0)} \Delta y + \varepsilon _1 \Delta x + \varepsilon _2 \Delta y}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon _1 , \varepsilon _2 \to 0 \ gdy \ (\Delta x , \Delta y) \to (0,0)}\). \(\displaystyle{ \varepsilon _1 , \varepsilon _2}\) to funkcje zmiennych \(\displaystyle{ \Delta _x, \Delta y}\) (czy powinno być \(\displaystyle{ (\Delta _x , \Delta _y)}\) zapisane w nawiasach??). Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} |_{(x_0,y_0)} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} |_{(x_0,y_0)} \Delta y}\) nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie \(\displaystyle{ (x_0 , y_0)}\) i zapisujemy jako \(\displaystyle{ dz|_{(x_0,y_0)}}\).
Moje pytanie - jak przepisać tę definicję, żeby dotyczyła ona różniczki zupełnej, a nie różniczki zupełnej w punkcie, tak żeby nie zapomnieć o żadnych założeniach?


Pozdrawiam!

[soku11]

1.
Przeciez masz dany zakres zmiennych x oraz y, wiec ich nie ruszasz:
\(\displaystyle{ D= \{ (x,y) : a qslant y qslant b , \ p(y) qslant x qslant q(y), \ p,q \ - \ ciagle \}\\
\iint_{D} f(x,y)\mbox{d}xmbox{d}y =
t_{a}^{b} \mbox{d}y t_{p(y)}^{q(y)} f(x,y)\mbox{d}x}\)

2. Jakobian liczy sie majac dane wspolrzedne. Czyli w twoim przypadku:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\end{cases}\\
|J|=\rho}\)
O jakobianie wspomnialem tylko zebys o nim nie zapominal - w tym zadaniu chyba to nie jest potrzebne... Zreszta nie znam jego tresci...

3. Wystarczy przeczytac:

POZDRO