punkty stacjonarne

[krochmal]

musze policzyc punkty stacjonarne takiej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^{3}+y^{2}2z^{2}-xz+2yz-x}\)
wiec teraz licze pochodne czastkowe:
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^{2}-z-1\\
f'(y)=4yz^{2}+2z\\
f'(z)=4y^{2}z-x+2y}\)
No i generalnie nie wiem jak wyznaczyc te pkty stacjonarne, sa tu same kwadraty i nic przed nawias raczej wylaczyc sie nie da... Dzieki za pomoc!

[klaustrofob]

przyrównujesz te pochodne do 0.
\(\displaystyle{ 0=3x^{2}-z-1\\ 0=4yz^{2}+2z\\ 0=4y^{2}z-x+2y}\). patrzysz na drugie: \(\displaystyle{ 0=2z(2yz+1)}\). albo z=0, albo nie. załóżmy, że tak: wtedy z trzeciego y=x/2, a z pierwszego \(\displaystyle{ 3x^2=1}\), tzn. \(\displaystyle{ x=\sqrt{1/3}}\) lub \(\displaystyle{ x=-\sqrt{1/3}}\). teraz wyliczasz y i masz dwa punkty stacjonarne: \(\displaystyle{ (\sqrt{1/3},\frac{1}{2}\sqrt{1/3},0)}\) i \(\displaystyle{ (-\sqrt{1/3},-\frac{1}{2}\sqrt{1/3},0)}\)

jeżeli z 0, to dzielisz drugie przez z i masz 2yz+1=0, tzn. 2yz=-1. wtedy trzecie przechodzi w \(\displaystyle{ 0=2y\cdot 2yz-x+2y=-2y-x+2y=-x}\) skoro x=0, to z pierwszego z=-1. teraz wyliczasz y.

[krochmal]

chce wrocic jeszcze raz do tego zadania. W odpowiedzi mam podane ze beda 2 punkty stacjonarne\(\displaystyle{ A(\frac{2}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3})}\) oraz \(\displaystyle{ B(-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{4})}\) Jak do rozwiazania z powyzszego postu jakos bym doszedł tak do tego nie bardzo... Dzieki za pomoc!

[klaustrofob]

A nie jest punktem stacjonarnym - np. f'(y) nie jest równe zero. innych już nie sprawdzałem.

[krochmal]

no nie wiem, tak mialem w odpowiedziach

[klaustrofob]

bosh... podstaw i sprawdź.