Punkt w trójkącie równobocznym

[neseka]

Las ma kształt trójkąta równobocznego. W wierzchołku A mieszka 8 krasnoludków, w wierzchołku B 4 krasnoludki, a w wierzchołku C 3 krasnoludki. Wyznacz punkt, w którym powinny się spotkać krasnoludki, by suma odległości jakie przebędą była jak najmniejsza.

[Ateos]

w punkcie A

[neseka]

Jakieś uzasadnienie?

[M Ciesielski]

każdy krasnoludek niezależnie od wierzchołka w którym mieszka ma taką samą drogę do dwóch pozostałych, więc żeby suma odległości była jak najmniejsza musi po prostu przejść jak najmniej krasnoludków, skoro w wierzchołku A mieszka ich najwięcej, to przejść muszą krasnoludki z pozostałych wierzchołków. załóżmy, że las jest trójkątem równobocznym o długości krawędzi a. wtedy rozpatrujemy 3 przypadki:

1. wszystkie spotykają się w wierzch. A (przechodzi 7 krasnoludków, więc droga to 7a)

2. spotykają się w wierzch B (przechodzi 11, droga to 11a)

3. spotykają się w C, przechodzi 12, droga to 12a

tak więc najmniejsza z tych 3 liczb jest 7a, więc musza się spotkać w wierzchołku A.

[neseka]

Tak, tylko, że one nie muszą się spotkać w jednym z wierzchołków, ale w dowolnym miejscu w trójkącie.

[JankoS]

Las ma kształt trójkąta równobocznego. W wierzchołku A mieszka 8 krasnoludków, w wierzchołku B 4 krasnoludki, a w wierzchołku C 3 krasnoludki. Wyznacz punkt, w którym powinny się spotkać krasnoludki, by suma odległości jakie przebędą była jak najmniejsza.

Krasnale z A i B wyruszają naprzeciwko siebie i spotykają się w punkcie D położonym na pr. AB tak, że AD:DB=1:2. Po spotkaniu wysyłają do krasnali z C SMS-a z informacją o swoim położeniu i obydwie grupy rozpoczynają iść na swoje spotkanie drogą CD. Spotykają się w punkcie P takim, że DP:PC=1:4.
O ile się nie mylę (fizyka) ten punkt to środek ciężkości jakiejś bryły.