Obliczyć długość podanej krzywej:
\(\displaystyle{ r=asin ^{3} \frac{\theta}{3}}\) (krzywa zadana we współrzędnych biegunowych)
Przede wszystkim problem mam tutaj z określeniem granicy całkowania. Jak należy ją tutaj wyznaczyć?
Obliczyc długość krzywej
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1873
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Obliczyc długość krzywej
Jeśli mamy obliczyć całkowitą długość linii, której równanie dane jest we współrzędnych biegunowych to argument czyli \(\displaystyle{ \theta}\) zmienia sie od \(\displaystyle{ \left< 0;2 \pi \right>}\)
Natomiast wzór na długość lini jest następujący:
\(\displaystyle{ L= t_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^2+ ft( \frac{dr}{d \theta} \right)^2 }d \theta}\)
Po podstawieniu naszej funkcji do wzoru i kilku prostych przekształceniach dostajemy, że:
\(\displaystyle{ L= a t_{0}^{2 \pi} sin^2 \frac{\theta}{3}d \theta=a ft[ \frac{\theta}{2}- \frac{3}{4} \sin \frac{2 \theta}{3} \right]^{2 \pi}_0 =a ft[\pi + \frac{3 \sqrt{3}}{8} \right]}\)
Pozdro!
Natomiast wzór na długość lini jest następujący:
\(\displaystyle{ L= t_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^2+ ft( \frac{dr}{d \theta} \right)^2 }d \theta}\)
Po podstawieniu naszej funkcji do wzoru i kilku prostych przekształceniach dostajemy, że:
\(\displaystyle{ L= a t_{0}^{2 \pi} sin^2 \frac{\theta}{3}d \theta=a ft[ \frac{\theta}{2}- \frac{3}{4} \sin \frac{2 \theta}{3} \right]^{2 \pi}_0 =a ft[\pi + \frac{3 \sqrt{3}}{8} \right]}\)
Pozdro!
-
figur
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 11 gru 2007, o 21:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Obliczyc długość krzywej
meninio, no ok., przekonałeś mnie, że można tak zrobić:) ale mam jeszcze takie trochę techniczne pytanie: dlaczego w odpowiedziach mam podane \(\displaystyle{ 3/2 \pi a}\)??
Cheerful, aha, ano, ten sam:) a Ty to kto?;>
Cheerful, aha, ano, ten sam:) a Ty to kto?;>