Całka podwójna - krok po kroku

[Raptor999]

Witam,

Czy może mi ktoś wytłumaczyć jak się rozwiązuje całkę podwójną? (lub może podrzucić jakiś link) Problem polega na tym, że jutro mam zbója z matmy, a na nim będzie całka podwójna na trójkącie. Niestety z żadnych dostępnych mi opracowań nie jest dla mnie zrozumiałem jak się dokładnie to liczy, są tylko zadania bez opisów. Pani dr podkreśliła, że ważna jest "zamiana zmiennych" i między innymi o tym chciałbym się dowiedzieć. Ew. może ktoś wrzuci jakieś rozwiązanie opisane krok po kroku właśnie na całce podwójnej.

pozdrawiam,
z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc.

P.S. Całka podwójna na zbóju ma być "normalna, regularna"

[soku11]

\(\displaystyle{ |V|=\iint_{D}f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y\\}\)
Ogolnie calka podwojna, to objetosc jakiejs bryly ograniczonej od gory przez wykres funkcji f(x,y), a od dolu przez plaszczyzne \(\displaystyle{ z=0}\) oraz obszar \(\displaystyle{ D}\) lezacy na tej powierzchni. Aby rozwiazac calke podwojna trzeba w sume tylko wyznaczyc granice calkowania (ewentualnie wczesniej rozbic caly obszar \(\displaystyle{ D}\) na mniejsze, zeby obszar byl normalny). W szczegolnosci gdy obszar jest kwadratem, to latwo uzaleznic obie wspolrzedne same od siebie, bo wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a\leqslant x\leqslant b\\
c\leqslant y\leqslant d\end{cases}}\)

I wtedy calka przyjmuje postac:
\(\displaystyle{ |V|=\int\limits_{a}^{b}\int\limitc_{c}^{d} f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\)

POZDRO

[Raptor999]

Wczoraj na zbóju miałem taką całkę podwójną, której nie dałem rady:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} t_{D}^{} \frac{x}{ \sqrt{x+y}}dxdy}\) , gdzie D: y=x , y= 2-x , y=0

Zdołałem doprowadzić tylko do takiej postaci (choć nie wiem czy dobrze):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}\frac{x}{ \sqrt{x+y}}dy)dx}\)

A więc jak to rozwiązać?

[soku11]

To co policzyles jest dla podstawy bedacej kwadratem, a nie trojkatem. Aby zrobic podane przez ciebie zadanie trzeba to zrobic tak:
\(\displaystyle{ |V|=\int\limits_{0}^{1}x\mbox{d}x t\limits_{0}^{x}\frac{\mbox{d}y}{\sqrt{x+y}}+
t\limits_{1}^{2}x\mbox{d}x t\limits_{0}^{2-x}\frac{\mbox{d}y}{\sqrt{x+y}}}\)

I z tego dopiero liczysz calke. POZDRO

[Raptor999]

Problem polega na tym, że:
1. Nie wiem jak do tego dojść, więc prosiłbym o "krok po kroku".
2. Za bardzo nie wiem co zrobić z tą całką z dy, więc prosiłbym o radę.

[soku11]

Grunt to dobry rysunek. W twoim przypadku bedzie to trojkat o wierzchoklach:
\(\displaystyle{ A=(0,0)\ \ B=(2,0)\ \ C=(1,1)}\)

Teraz musisz znalezc jakies obszary,by jedna zmienna miala stale granice (czyli calka byla w granicach tyko liczbowych, bez zmiennych). Poczatkowo moze sie wydawac, ze najlatwiej byloby poprostu dac zaleznosc:
\(\displaystyle{ 0\leqslant x\leqslant 2}\)

Jednak wtedy nie da sie ustalic gornej granicy dla calego pasma x jednoznacznie. Bo przeciez dla x od 0 do 1, y jest ograniczony z gory przez y=x, a od 1 do 2 przez y=2-x. Natomiast granica dolna bedzie 0, bo od dolu masz os OX, a nie masz zadnej innej funkcji. Tak wiec trzeba rozdzielic obszar na dwa fragmenty tak jak wynika z rysunku. Czyli pierwszy trojkat prostokatny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0\leqslant x\leqslant 1\\ 0\leqslant y\leqslant x\end{cases}}\)

Oraz drugi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 2\\ 0\leqslant y\leqslant 2-x\end{cases}}\)

Na tej podstawie cala calke dzielisz na dwie calki po tych prostokatach, co daje moj zapis. Teraz rozumiesz?? POZDRO

[Raptor999]

Samo ograniczenie całki rozumiem, ale już nie rozumiem na jakiej zasadzie przed całkę z dy jest wyłączony x dołączony do dx i nie wiem jak obliczyć całkę dwóch zmiennych. Proszę o pomoc.