Całka potrójna na sferycznych.

[Finarfin]

Mam zadanie:

Wprowadzając współrzędne sferyczne, obliczyć całkę potrójną:

\(\displaystyle{ \int\int\int\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz}\)
po obszarze U określonym przez nierówność \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2&\leq z}\). Sporządzić rysunek.

O ile dobrze mi idzie to to jest kula? O promieniu 1, rozpoczynająca się dla gdzie 0≤z≤2. Ale coś źle liczę, bo zła odpowiedź mi wychodzi...

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=r\sin\psi\\x=r\cos\psi \cos\varphi\\y=r\cos\psi \sin\varphi\end{cases}\\
J=r^2\cos\psi}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ 0\leq r q \sin\psi\\0\leq \varphi q 2\pi\\0\leq \psi\ q \frac{\pi}{2}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ I=\int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi t\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\psi t\limits_{0}^{\sin\psi} r^3\cos\psi \ dr=\ldots}\)

[Nty]

niestety nie tak, \(\displaystyle{ r}\) zmienia się od
\(\displaystyle{ 0 q r q \sin{\psi}}\)
gdyż obszarem jest kula \(\displaystyle{ x^2+y^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2\leq ft(\frac{1}{2}\right)^2}\), a @kuch2r policzył całkę z twojej funkcji po obszarze
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq ft(\frac{1}{2}\right)^2}\) co robi ogromną różnicę.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\phi t_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\psi t_{0}^{\sin{\psi}}r^3\cos{\psi} dr=\frac{1}{10}\pi}\)

[kuch2r]

zgadza sie... dzieki za poprawienie...

[Finarfin]

No i byłoby grejt success, gdybym wiedział jak żeście fi wyprowadzili...bo tak to wszystko rozumiem, ale to fi mnie o zawrót glowy przyprawia. Gdyby nie to to sam bym od razu ją za pierwszym razem dobrze pyknął

[kuch2r]

jesli zrzutujesz sobie ta sfere na xOy, to otrzymasz okrag o rownaniu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{1}{4}}\)
stad zakres \(\displaystyle{ \varphi (0,2\pi)}\)

[Finarfin]

Jeżeli mam być szczery to czegoś mi w mojej wiedzy brakuje i to jak widzę jest dosyć istotne, bo nie wiem skąd się wzięło to:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{1}{4}}\)
oraz to:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2\leq(\frac{1}{2})^2}\)

Myślę, że jak dacie mi tutaj znać to już będę miał jasny umysł


Domyślam się, że to pierwsze wzięło się z tego drugiego, ale mimo wszystko skąd jest to drugie?

[kuch2r]

Co do drugiego, to:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq z\\
x^2+y^2+z^2-z\leq 0\\
x^2+y^2+z^2-z+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\leq 0\\
x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2\leq (\frac{1}{2})^2}\)
Co do pierwszego, mysle ze jezeli narysujesz sobie sfere o srodku w punkcie\(\displaystyle{ (0,0,\frac{1}{2})}\)i promieniu \(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}}\) a nastepnie zrzutujesz na os xOy, to wszystko sie wyjasni

[Finarfin]

Dzięki wielkie. Rozumiem.

[eloar]

niestety nie tak, r zmienia się od
\(\displaystyle{ 0 q r q \sin{\psi}}\)

a mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2cos^2\Theta}+\frac{cos\Theta}{2}\leqslant r}\)

No i osobiście nie wiem co jest nie tak...

[Finarfin]

eloar, powinno się ładnie poskracać. I wtedy wychodzi...

[eloar]

przeliczyłem jeszcze raz i wyszło:

\(\displaystyle{ r}\)

[Finarfin]

eloar, dziwnie to robisz. Zrób to na tej zasadzie:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=z}\)
Podstawiamy współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ r^2(cos\Theta cos\F i+ sin\Fi + sin\Theta)^2=rsin\Theta}\)
Wyrażenia w nawiasie się skracają - kąty się uzupełniają, wiec pozostaje:
\(\displaystyle{ r^2=rsin\Theta}\)
\(\displaystyle{ sin\Theta=r}\)


Koniec zabawy

[eloar]

fakt wyszlo wszystko ladnie

[server88]

mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak mam policzyć te kąty ? slęczę już od ponad dwóch godzin i ciągle nie mogę zrozumieć skąd się bierze taki, a taki przedział