Zadania z Ciągów

[Boski]

Na wstępie dodam ze nie było mnie w szkołe przez półtora tygodnia, nie mam pojecia o ciągach a te zadania musze miec bo moze byc kłopot.prosze o pomoc..

1)Wyznacz czterowyrazowy ciąg geometryczny wiedzac ze iloczyn wyrazów skrajnych tego ciągu rowna sie 27 a suma kwadratow dwoch pierwszych wyrazow rowna sie 10.
2)Wyznacz pierwszy wyraz _a{1} i iloraz ciągu gemetrycznego wiedzac ze suma szescianow trzech poczatkowych wyrazow tego ciągu wynosi 757 a iloczyn tych wyrazow 27.
3)W ciągu gemetrycznym o szesciu wyrazach suma wyrazów na miejscach parzystych wynosi 90 a na miejscach nieparzystych 30 frac{1}{3} (trzydziesci i jedna trzecia).wyznacz ten ciąg.

Bardzo prosze o jasne i wyrazne rozwiazania.

[gmork]

Dołączam się do prośby...

[Wiśnia]

ad1
kolejne cztery wyraz takiego ciągu to \(\displaystyle{ a, aq, aq ^{2}, aq ^{3}}\)
iloczyn wyrazów skrajnych \(\displaystyle{ a*aq ^{3}=27}\)
suma kwadratów dwóch pierwszych \(\displaystyle{ a ^{2}+a ^{2}q ^{2} =10}\)
mamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi
z pierwszego \(\displaystyle{ a ^{2} = \frac{27}{q ^{3} }}\) z drugiego \(\displaystyle{ a ^{2}= \frac{10}{1+q ^{2} }}\)
porównując te dwie wartości \(\displaystyle{ \frac{10}{1+q ^{2} }= \frac{27}{q ^{3} }}\)
otrzymujemy równanie trzeciego stopnia \(\displaystyle{ 10q ^{3}-27q ^{2}-27=0}\)
jedynym jego rozwiązaniem (obliczyć można z schematu Hornera) jest \(\displaystyle{ q=3}\)
podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ a ^{2}= \frac{10}{1+3 ^{2}}=1 , a=1 a=-1}\)
dla a=1 wyrazy ciągu to \(\displaystyle{ 1,3,9,27}\) a dla a=-1: \(\displaystyle{ -1,-3,-9,-27}\)

[Boski]

Ale nie rozumiem jak moga byc wyrazy a,aq,aq2 i aq3 u mnie jest a1 ,a2,a3 to to samo?


Edit jak sie oblicza ze q=3 z tego Hornera , kompletnie nie wiem, wytlumacz jesli łaska:)

[gmork]

a1=a
a2=aq
a3=aq2 ......itd taaak duże kłopoty...

[Wiśnia]

to zadanie rozwiązuje się analogicznie do pierwszego
pierwsze równanie \(\displaystyle{ a ^{3} +a ^{3}q ^{3}+a ^{3} q ^{6}=757}\)
drugie równanie \(\displaystyle{ a*aq*aq ^{2}=27}\)
z obu równań wyciągacie \(\displaystyle{ a ^{3}}\) i obliczcie q
\(\displaystyle{ q=3 , a=1}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{1}{3}, a=9}\)

[ Dodano: 2 Czerwca 2008, 20:41 ]
jeżeli chodzi o schemat Hornera to mniej wiecej chodzi o to że sprawdzasz czy pewne liczby sa jego pierwiastkami (schemat hornera jest w programie klasy II liceum )

[Boski]

A mogłbys dokładnie rozpisac choc jedno zadanie(całe)..Prosze..

[Wiśnia]

podobnie jest w 3 zadaniu
mamy wyrazy \(\displaystyle{ a,aq,aq ^{2},aq ^{3},aq ^{4},aq^{5}}\)
te co stoją na parzystych miejscach to \(\displaystyle{ aq+aq ^{3}+aq ^{5}=90}\)
te co na nieparzystych \(\displaystyle{ a+aq ^{2}+aq ^{4}=30 \frac{1}{3}}\)
z pierwszego aq przed nawias \(\displaystyle{ aq(1+q ^{2}+q ^{4})=90}\)
z drugiego tylko a \(\displaystyle{ a(1+q ^{2}+q ^{4})=30 \frac{1}{3}}\)
teraz to podzielcie stronami otrzymacie a a później podstawicie i możecie sobie q wyliczyć

[ Dodano: 2 Czerwca 2008, 20:52 ]
tzn pierwsze powiedzmy jest wzorcowe co w nim Ci jeszcze wytłumaczyć

[Boski]

nie wiem co to podzielc stronami x_x

[Wiśnia]

chodzi o to żeby podzileić stronami równania pierwsze przez drugie bo w obu równanich masz \(\displaystyle{ a(1+q ^{2}+q ^{4}}\) i jak podzielisz pierwsze przez drugie to ci sie to uprości i zostanie tylko q

[gmork]

\(\displaystyle{ a, aq, aq ^{2}, aq ^{3}}\) Z wzoru \(\displaystyle{ a_{n} =a*q^{n-1}

a^{2}*q ^{2}}\) bo \(\displaystyle{ a _{2} ^{2} = ft( a _{1} *q \right) ^{2}

a*aq ^{3}=27 a*a*q^{3}=27 a^{2}*q^{3}=27 /:q^{3}}\)

z drugiego \(\displaystyle{ a^{2}}\)przed nawias i dzielisz przez to co zostanie w nawiasie

to i \(\displaystyle{ \frac{10}{1+q ^{2} }= \frac{27}{q ^{3} }}\) mnożysz na krzyż i przenosisz na jedną strone

wychodzi to\(\displaystyle{ 10q ^{3}-27q ^{2}-27=0}\) a dalej jak to on przedstawił

[Boski]

ostatnie to nie wiem jak w zadaniu pierwszysm rozwiazac układ rownac i jak obliczcy Q z hornera

[Wiśnia]

jest takie twierdzenie że jeżeli liczba całkowita jest pierwisastkiem wielomianu to jest on tez dzielnikiem wyrazy wolnego , w tym przypadku wyraz wolny to 27 (ma dzielniki całkowite 3,-3,9 itd) nawet nie używając schematu można sobie sprawdzić czy któraś z tych liczb nie jest pierwiastkiem
jezeli chcecie to zapisać jeszcze inaczej to można pogrupować wyrazy odpowiednio i powyciągać coś przed nawias np \(\displaystyle{ 10q ^{3}-27q ^{2}-27=10q ^{3}-30q ^{2}+3q ^{2}-27
=10q ^{2}(q-3)+3(q ^{2}-9)= 10q ^{2}(q-3)+3(q-3)(q+3)=(10q ^{2}+3q+9)(q-3)}\)
macie tu wielomian w postaci iloczynowej z której wynika że jedynym pierwiastkiem tego wielomianu jest q=3

[Boski]

dzieki o to chodziło