Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz \(\displaystyle{ T\cap T'}\).
Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Trójkąt prostokątny równoramienny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Trójkąt prostokątny równoramienny.
Pole części wspólnej tych trójkątów (\(\displaystyle{ T\cap T_1}\)) to pole \(\displaystyle{ 4}\) przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości \(\displaystyle{ h}\) w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. \(\displaystyle{ a}\) i przeciwprost. dł. \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a}\)
Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi \(\displaystyle{ 15^\circ}\)). Mając długość \(\displaystyle{ h}\) i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy \(\displaystyle{ x}\). Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:
\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ}\)
Teraz pole:
\(\displaystyle{ P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ}\)
Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}}\)
Podstawiając mamy ostatecznie: \(\displaystyle{ P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wrocław
Trójkąt prostokątny równoramienny.
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
- Gawroon7
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 1 lis 2011, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sądecczyzna
- Podziękował: 3 razy
Trójkąt prostokątny równoramienny.
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
- Thuddy
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 16 lis 2012, o 22:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 30 razy
Trójkąt prostokątny równoramienny.
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro \(\displaystyle{ a=5}\) to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. \(\displaystyle{ h^{2}= \frac{3}{4}a}\) No i wyszło mi że \(\displaystyle{ h= \frac{5\sqrt{3}}{2}}\). Więc dlaczego to jest źle?