[MIX] Mix matematyczny (3)

[limes123]

8. Jeśli funkcja spełnia warunek 1 to możemy napisać
\(\displaystyle{ f(x+k)=f(x)+k}\) dla \(\displaystyle{ x,k\in Q_+}\) . Dla x=1 mamy zatem \(\displaystyle{ f(1+k)=f(1)+k}\), czyli przyjmując \(\displaystyle{ f(1):=a}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=x+(a-1)}\) i możemy przyjąć \(\displaystyle{ b=a-1}\). Wtedy w drugim równaniu mamy
\(\displaystyle{ x^3+b=(x+b)^3\iff x^3+b=x^3+3xb(x+b)+b^3\iff b-b^3=3bx(x+b)}\) i jak już ktoś wcześniej zauważył dla b=0 zachodzi, więc możemy przyjąć, że b jest różne od zera i obustronnie przez nie podzielić. Będzie \(\displaystyle{ 1-b^2=3x(x+b)}\). W tym momencie sie zatrzymuję. Nie wiem czy rozumowanie jest poprawne, ale jeśli nie to przynajmniej się dowiem czemu.

[Wasilewski]

Pierwszy warunek mnie ciekawi, bo według mnie to powinno być dla k całkowitych.

[limes123]

No racja. Tylko wtedy się chyba wszystko sypie... Czyli jednak źle;p

[Sylwek]

\(\displaystyle{ f(x+k)=f(x)+k}\) dla \(\displaystyle{ x,k\in Q_+}\)

Skąd to wywnioskowałeś? (prawda, ale do tego masz dojść, dlatego rozumowanie nie jest poprawne, z danych zadania nie wynika to bezpośrednio, ani szczerze powiedziawszy nawet pośrednio). To ważne, że mamy \(\displaystyle{ f:\mathbb{Q_+}\to \mathbb{Q_+}}\)

[Aramil]

6. Rozwiąż w liczbach naturalnych x,y,z,t równanie:
31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)

przeksztalcamy
\(\displaystyle{ \frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t} = \frac{40}{31}}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{zt + 1}{yzt+y+t} = \frac{31+9}{31}=1+ \frac{1}{ \frac{31}{1} }}\)
i tak dalej az do
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{y + \frac{1}{z+ \frac{1}{t} } } = 1+ \frac{1}{3 + \frac{1}{2+ \frac{1}{4} } } }\)
i korzystamy ze kazda liczbe wymierna mozna przedstawic w postaci ulamka lancuchowego tylko w jeden sposob stad juz latwo wskazac rozwiazania

ps sierpinski rox

[Sylwek]

ad.6 Ładnie Michał, w ten sam sposób robiłem, ale tego zadanka nie brałem z Sierpińskiego

4,5,8,9 left ;>

[ojciec_kogut]

5.
Założmy że
\(\displaystyle{ \frac{n^{3}+1}{mn-1}=k\\ n^{3}+1=kmn-k}\)
Z tego\(\displaystyle{ k+1=0modn}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{n^3+1+mn-1}{mn-1}=l*n}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{n^{2}+m}{mn-1}=l}\) gdzie l jest liczba calkowita
Powtrarzajac to rozumowanie otrzymamy ze
\(\displaystyle{ \frac{m^{3}+1}{mn-1}=p}\) oraz liczba p jest calkowita.[/latex]
Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{m^{3}+1}{mn-1}= \frac{(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m+1)(n+1)+n-m}}\)
Stad \(\displaystyle{ n-m=0mod(m+1)}\)
Podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{n^{3}+1}{mn-1}}\)
dalej: \(\displaystyle{ n-m=(n+1)-(m+1)=0mod(m+1)}\)
czyli n+1 dzieli m+1
podobnie w drugim przypadku m+1 dzieli n+1
czyli m=n
Podstawiajac
\(\displaystyle{ \frac{n^{3}+1}{n^{2}-1}=\frac{n^{2}-n+1}{n-1}=\frac{n(n-1)+1}{n-1}}\)
czyli n-1=1 lub n-1=-1
stad n=2 n=0
czyli rozwiazania to m=n=2 oraz m=n=0

[Wasilewski]

A na przykład n=2, m=5 ?

[Sylwek]

\(\displaystyle{ \frac{m^{3}+1}{mn-1}= \frac{(m+1)(m^{2}-m+1)}{(m+1)(n+1)+n-m}}\)

błąd w mianowniku, początek dobry

[ojciec_kogut]

Drobny błąd.
jednak to nie zmienia rozumowania.

zamiasta n+1 w mianowniku bedzie n-1 a zamiast n-m bedzie m-n i pozniej leci to samo

[Sylwek]

Zmienia, linijkę niżej masz błędny wniosek - wyrażenie z mianownika nie musi być wielokrotnością (m+1), Wasilewski podał przykład.

\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+m}{mn-1}\in \mathbb{N}}\)

spróbuj coś z tego, albo ulepsz swój dowód

[soliter]

Drugie, alternatywne rozwiązanie 4.

Niech \(\displaystyle{ S= \sum_{i=1}^{n} x_i.}\)
Udowodnię dwie nierówności
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}\frac{S-x_i}{x_i} \geqslant (n-1)^n,}\)
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}\frac{S+x_i}{x_i} \geqslant (n+1)^n.}\)

Obie przy pomocy AM>=GM.
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}\frac{S-x_i}{x_i} \geqslant \prod_{i=1}^{n}\frac{ (n-1) \sqrt[n-1]{ \prod_{
j=1,\ j i}^{n}x_j}} {x_i}=(n-1)^n}\)
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}\frac{S+x_i}{x_i} \geqslant \prod_{i=1}^{n}\frac{ (n+1) \sqrt[n+1]{ x_i\prod_{
j=1}^{n}x_j}} {x_i}=(n+1)^n}\).
Po przemnożeniu ich stronami otrzymujemy nierówność, którą należało wykazać.

[Sylwek]

ad 4., znakomicie , ja robiłem za pomocą nierówności pomiędzy średnią geometryczną średnich arytmetycznych a średnią arytmetyczną średnich geometrycznych, dwie tablice i się przemnażało, ale idea ta sama.

[Aramil]

8. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Q_+}}\) oznacza zbiór liczb wymiernych dodatnich. Wyznacz wszystkie funkcje\(\displaystyle{ f:\mathbb{Q_+} \to \mathbb{Q_+}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in Q_+}\) warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}f(x+1)=f(x)+1 \\ f(x^3)=\left(f(x)\right)^3 \end{cases}}\)

indukcja
zalozenie indukcyjne \(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)+n}\)
krok \(\displaystyle{ f(x+n+1)=f(x+n)+1=f(x)+n+1}\)
n jest naturalne

stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ \frac{a}{b} + b^2}\) gdzie a i b sa naturalne i wzglednie pierwsze
\(\displaystyle{ f((\frac{a}{b} + b^2)^3)=(f(\frac{a}{b}))^3 + 3(f(\frac{a}{b})^2 b^2 + 3f(\frac{a}{b})b^4 + b^6}\)
i
\(\displaystyle{ f((\frac{a}{b} + b^2)^3)=(f(\frac{a}{b}))^3 + 3a^2 + 3ab^3 + b^6}\)
wiec
\(\displaystyle{ (f(\frac{a}{b})^2 b^2 + f(\frac{a}{b})b^4=a^2 + ab^3}\)
\(\displaystyle{ (f(\frac{a}{b})b-a)(f(\frac{a}{b})b+a+b^3)=0}\)
stad
\(\displaystyle{ f(\frac{a}{b})b-a=0}\) czyli \(\displaystyle{ f( \frac{a}{b} )= \frac{a}{b}}\)
latwo sprawdzic ze \(\displaystyle{ f(x)=x}\) spelnia warunki zadania.

[Sylwek]

ad. 8, wyśmienicie, gwoli ścisłości: wiadomo, że istnieją liczby wymierne dodatnie, które da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}+q^2}\). Dla takich liczb pokazałeś, że jedyną funkcją spełniającą to równanie może być tylko f(x)=x, potem wystarczy sprawdzenie

Ładnie idzie kmina , zostały: Zostały: 5. i 9.