wykaż że liczba x jest granicą ciągu

[exculibrus]

proszę o potwierdzenie czy robie to dobrze tzn. czy zapis jest poprawny i czy tak moge pisać na maturze:

wykaż że liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{3}{n}}\) (pomińcie fakt że od razu widać iż wyrażenie zmierza do zera):

\(\displaystyle{ lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n}=0 \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\varepsilon >0} \bigvee\limits_{N} \bigwedge\limits_{n>N} ft| \frac{3}{n} \right|0}\) dowolny i ustalony

\(\displaystyle{ \left|\frac{3}{n}\right| = \frac{3}{n} < \varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{3}{\varepsilon} N\leqslant\frac{3}{\varepsilon}}\)

(koniec "dowodu")

[soku11]

Ja bym na koncu dal znak rownosci, tj
\(\displaystyle{ N=\frac{3}{\varepsilon}}\)

I juz dla tej wartosci N, granica ta wynosi 0. I dopisalbym, ze jest to udowodnione na podstawie definicji granicy ciagu Cauchy'ego Chociaz watpie, ze dadza ci kiedys takie zadanko na maturze... POZDRO

[exculibrus]

wiem że na mautrze rozszerzonej aż tak łatwych (pomimo niskiego poziomu) nie bedzie; dałem najprostszy przykład jaki znalazłem aby nie musieć się zbyt rozpisywać dzieki za pomoc

[soku11]

Nie chodzilo mi, ze takich latwych Chodzilo mi ogolnie o udowadnianie istnienia granicy z definicji POZDRO

[JankoS]

(koniec "dowodu")

Dla formalności: proszę poprawoć literówkę w ostatnim kroku dowodu,

[arpa007]

a nie wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{3}{n}= ( \frac{3}{ \infty })=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ ( \frac{3}{ \infty })}\) jest nad znakiem równości

bo w tresci nie jest napisane, że trzeba udowodnić na podstawie definiji Cauchy'ego

[bedbet]

W zadaniu było napisane "wykaż", a nie "policz", zatem należy wyliczyć tę granicę z definicji granicy. P.S. Warunek Cauchy`ego rozstrzyga o zbieżności ciągu, ale nie mówi nic o granicy, zatem z def. granicy ciągu trzeba skorzystać.

[JankoS]

bo w tresci nie jest napisane, że trzeba udowodnić na podstawie definiji Cauchy'ego

Sądzę, że nie. Kolega swoim rachunkiem liczy, tę granicę,należy jeszcze pokazać, że tak jest, a więc definicja (Cauchy) lub jakieś twierdzenie.

P.S. Warunek Cauchy`ego rozstrzyga o zbieżności ciągu, ale nie mówi nic o granicy, zatem z def. granicy ciągu trzeba skorzystać.

Przejrzałem poprzednie posty i w nich nic nie było o warunku Cauchyego. A skoro już, to ten warunek rozstrzyga tylko o zbieżności w przestrzeniach zupełnych.

[exculibrus]

a możecie polecić jakąś książke do analizy matematycznej? póki co dziś kupiłem analize matematyczna w zadaniach Krysickiego i Włodarskiego ale tam jest bardziej tłumaczone na obliczanie poprawnie i prawidłowy zapis a mniej na samo rozumienie i poznanie całości.

[JankoS]

a możecie polecić jakąś książke do analizy matematycznej? póki co dziś kupiłem analize matematyczna w zadaniach Krysickiego i Włodarskiego ale tam jest bardziej tłumaczone na obliczanie poprawnie i prawidłowy zapis a mniej na samo rozumienie i poznanie całości.

Kazimierz Kuratowski "Rachunek różniczkowy i całkowy" (funkcje jednej zmiennej)
Franciszek Leja "Rachunek różniczkowy i całkowy" (funkcje wielu zmiennych)
Obydwie za grosze można kupić na Allegro.