mam taki układ potrzebny do policzneia ekstremum funkcji f(x,y) i nie mogę znaleźć punktu stacjonarnego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y -\frac{4}{x} = 0 \\ x + 2y - \frac{10}{y} = 0 \end{cases}}\)
jak wyliczyc z tego x i y?
Dodam jeszcze, że zgodnie z definicją logarytmu naturalnego (jej dziedziną):
\(\displaystyle{ x > 0 \wedge y > 0}\)
prosiłbym o szybką rozpiske jak to zrobić a nie tylko o wynik:)
[układ równań z pochodnymi ln x i ln y
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[układ równań z pochodnymi ln x i ln y
Wymnażamy przez mianowniki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^2+xy=4 \\ xy+2y^2=10 \end{cases}}\)
Odejmujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2x^2-2y^2=-6 \\ x^2=y^2-3 \\ x=\sqrt{y^2-3}}\)
Ostatnia równość po uwzględnieniu dziedziny , podstawiam za y do drugiego równania:
\(\displaystyle{ \sqrt{y^2-3}y=10-2y^2}\) (zauważamy, że \(\displaystyle{ y\in \langle \sqrt{3} , \sqrt{5} \rangle}\)), do kwadratu:
\(\displaystyle{ y^4-3y^2=4y^4-40y^2+100 \\ (y^2-4)(3y^2-25)=0}\)
Jedyna pasująca \(\displaystyle{ y=2}\), czyli \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^2+xy=4 \\ xy+2y^2=10 \end{cases}}\)
Odejmujemy stronami:
\(\displaystyle{ 2x^2-2y^2=-6 \\ x^2=y^2-3 \\ x=\sqrt{y^2-3}}\)
Ostatnia równość po uwzględnieniu dziedziny , podstawiam za y do drugiego równania:
\(\displaystyle{ \sqrt{y^2-3}y=10-2y^2}\) (zauważamy, że \(\displaystyle{ y\in \langle \sqrt{3} , \sqrt{5} \rangle}\)), do kwadratu:
\(\displaystyle{ y^4-3y^2=4y^4-40y^2+100 \\ (y^2-4)(3y^2-25)=0}\)
Jedyna pasująca \(\displaystyle{ y=2}\), czyli \(\displaystyle{ x=1}\)