granica funkcji 2 zmiennych

[karlkar]

ten tego... Nie jestem pewien czy mi dobrze wyszło(funkcje trygonometryczne to zło), dlategóż pytam:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} xy*sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=0}\)?

[soku11]

Opuszcze w polowie pisanie sin n/n, bo za duzo tego by bylo
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\cdot sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\cdot \frac{ sin\frac{1}{x^2+y^2} }{ \frac{1}{x^2+y^2} }\cdot \frac{1}{x^2+y^2}=
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}\\
x_n'=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\ \ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}\\
x_n''=\left(0,\frac{1}{n}\right)\ \ \ \lim_{n\to\infty} \frac{0}{\frac{1}{n}}=0}\)

Czyli graicy nie ma Ale nie jestem do konca pewien czy tak mozna. POZDRO

[Wasilewski]

Sok11, ale przecież granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1}\)
jest przy x dążącym do zera. Ja bym to zrobił z trzech funkcji:
\(\displaystyle{ -xy qslant xy sin \frac{1}{x^2 + y^2} qslant xy}\)
Czyli granica to 0.

[soku11]

A czy przypadkiem nie:
\(\displaystyle{ -\frac{xy}{x^2+y^2}\leqslant xy\sin \frac{1}{x^2+y^2}\leqslant \frac{xy}{x^2+y^2}}\)

??

[Wasilewski]

Tak też można, ale po co? Z całą pewnością mogę stwierdzić, że sinus oscyluje między -1 a 1. Zatem tak na oko ta granica powinna wynosić 0, bo xy zbiega do zera, a sinus jest ograniczony. Oczywiście głowy za to nie dam.

[karlkar]

A czy przypadkiem nie:
\(\displaystyle{ -\frac{xy}{x^2+y^2}\leqslant xy\sin \frac{1}{x^2+y^2}\leqslant \frac{xy}{x^2+y^2}}\)

??

Z tym ja bym się sprzeczał, bo to przybliżenie ( \(\displaystyle{ sin x = x}\) ) jest prawdziwe dla małych wartości x. A my mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\) czyli przy x i y dążących do 0 mamy coś bardzo wielkiego ;p

[Wasilewski]

Ale nierówność \(\displaystyle{ sinx qslant x}\) zachodzi zawsze. Nie wiem, jak od dołu, ale pewnie też.

[karlkar]

fakt

ja sam doszedłem do tego jeszcze inaczej ;P

\(\displaystyle{ 0 qslant |xy*sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}| qslant |xy|\to0}\)

[Wasilewski]

Od dołu ta nierówność nie zachodzi zawsze, ale to nieważnie, bo takie szacowanie nic nie daje.

[soku11]

Dobra koniec. Granica rowna 0 Cos mi sie pomotalo w moim poscia POZDRO