granica ciągu, rozbieżność ciągu [sprawdzenie]

[mielnior]

1.Zbadać istnienie granicy ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_n=\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n}}}\)
robie to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n}} =\sqrt{1+\frac{(-1)}{\infty}} o \ ile \ \ jest \ nieparzysta \ =\sqrt{1+0^-} =1^-\\lub
=\sqrt{1+\frac{1}{\infty}} \ jesli \ parzysta \ =1^+}\)
Dobrze?

2.Wykaż rozbieżność ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_n=\frac{2n}{n+3}\sin \frac{1}{2}\pi n}\)
Czyli, że nie ma mieć granicy właściwej, tak? Więc jadę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+3}\sin \frac{1}{2}\pi n=\lim_{n\to\infty}2\sin \frac{1}{2}\pi n}\)
i teraz ile to jest sinus nieskończoności? Bo sin pi/2 = 1. Stwierdzam, że zawiera się w przedziale od -1 do +1, a że trzeba pomnożyć przez 2 , to przedział rozwiązań się rozszerza [-2 do 2].. To jest on rozbieżny, czy nie? Co dalej?
Dziękuje za pomoc.

[natkoza]

1. z tw.o 3 ciągach będzie bardziej poprawnie matematycznie,ale granicz wyjdzie faktycznie 1.
2.wystarczy pokazać, że dwa podciągi tego ciągu są zbiezne do różnych granic, lub inaczej, że granica górna i dolna sa różne

[mielnior]

ad. 1 - to znaczy, że najpierw za (-1) mam wstawić np. (-2), a potem (-0,5) ? I jak w obu przyp. wyjdzie granica =1 to znaczy że faktycznie tam jest?
ad.2 - jak to się robi?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{n+3}=\lim_{n\to\infty} \frac{n(2)}{n(1+\frac{3}{n}}=\frac{2}{1}=2\\
\lim_{n\to\infty} \sin \frac{1}{2}\pi n \ => \ \\
2\not }\)

o to chodzi?

[Szemek]

1) z tw. o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ 1 \sqrt{1+\frac{-1}{n}} q \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n}} q \sqrt{1+\frac{1}{n}} \to 1}\)

[natkoza]

1. formalnie :
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{1}\leftarrow \sqrt{1+\frac{-1}{n}}\leq \sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n}}\leq \sqrt{1+\frac{1}{n}}\to \sqrt{1}=1}\)
2.
czy chodzi o taki ciąg: \(\displaystyle{ a_n=\frac{2n}{n+3}sin\frac{\pi n}{2}}\)?
jeżeli tak to łatwo:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{2n}{n+3}sin\frac{\pi n}{2}=\begin{cases} \frac{2n}{n+1}\cdot 0,n=2k\\\frac{2n}{n+3}\cdot 1,n=4k+1\\\frac{2n}{n+3}\cdot (-1),n=4k+3\end{cases}=\begin{cases}0,n=2k\\\frac{2n}{n+3},n=4k+1\\\frac{-2n}{n+3},n=4k+3\end{cases}}\) i chyba łatwo zauważyć, ze te podciągi nie zmierzają do jednej granicy

[mielnior]

czegoś zapewne oczywistego nie widzę ; mianowicie skąd się bierze n=2k, potem, n=4k+1 i n=4k+3 ? Czym jest "k" powyżej?

[natkoza]

\(\displaystyle{ k=0,1\ldots}\)
a te cyferki biorą się w sposób oczywisty
\(\displaystyle{ sin\frac{0\cdot \pi}{2}=sin0=0\\
sin\frac{1\cdot \pi}{2}=sin\frac{\pi}{2}=1\\
sin\frac{2\cdot \pi}{2}=sin\pi=0\\
sin\frac{3\cdot \pi}{2}=sin\frac{3}{2}\pi=-1\\
sin\frac{4\cdot\pi}{2}=sin2\pi=0\\
sin\frac{5\cdot \pi}{2}=sin\frac{5}{2}\pi=1}\)
czyli łatwo zauważyć, ze wartosc \(\displaystyle{ 0}\) powtarza się co drugi raz, czyli zawsze, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, wartość \(\displaystyle{ 1}\) powtórzyła sie po czerech innych wynikach pierwszy raz wystąpiła dla \(\displaystyle{ n=1}\) więc kolejne wystąpienia tego wyniku będą dla kazdej liczby \(\displaystyle{ n=4k+1}\)
wartość \(\displaystyle{ -1}\) powtórzyła sie po czerech innych wynikach pierwszy raz wystąpiła dla \(\displaystyle{ n=3}\) więc kolejne wystąpienia tego wyniku będą dla kazdej liczby \(\displaystyle{ n=4k+3}\)

[mielnior]

Dziękuję natkoza