Prawo sprzeczności i wyłączonego środka

[Wizard]

Powtarzam sobie logikę matematyczną i mam problem ze zrozumieniem prawa sprzeczności i wyłączonego środka. Prawo sprzeczności mówi nam, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest fałszywe. Co w takim razie w sytuacji, gdy oba zdania są fałszywe. Tabela zero-jedynkowa dla tego prawa jasno pokazuje, że dwa zdania mogą być sprzeczne gdy obydwa człony (\(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\)) są fałszywe!

I podobna sytuacja jest w prawie wyłączonego środka, które mówi: z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe. Jak mam zrozumieć sytuację, gdy oba zdania są prawdziwe (to dla mnie w ogóle niezrozumiała sytuacja, by zdanie p oraz jego zaprzeczenie były jednocześnie prawdziwe - mimo to prawo to przewiduje taką możliwość i określa taki układ jako nadal zdania sprzeczne).

Dla mnie najprostszym rozwiązaniem byłoby zastosowanie w obu przypadkach XOR, gdzie wszystko jest jasne. Dwa zdania są sprzeczne tylko wtedy, gdy jedno jest prawdziwe a pozostałe jest fałszywe.

Proszę o odpowiedź, bo mnie to męczy strasznie
Wizard

[Jan Kraszewski]

Powtarzam sobie logikę matematyczną i mam problem ze zrozumieniem prawa sprzeczności i wyłączonego środka. Prawo sprzeczności mówi nam, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest fałszywe. Co w takim razie w sytuacji, gdy oba zdania są fałszywe. Tabela zero-jedynkowa dla tego prawa jasno pokazuje, że dwa zdania mogą być sprzeczne gdy obydwa człony (\(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\)) są fałszywe!

I podobna sytuacja jest w prawie wyłączonego środka, które mówi: z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe. Jak mam zrozumieć sytuację, gdy oba zdania są prawdziwe (to dla mnie w ogóle niezrozumiała sytuacja, by zdanie p oraz jego zaprzeczenie były jednocześnie prawdziwe - mimo to prawo to przewiduje taką możliwość i określa taki układ jako nadal zdania sprzeczne).

Dla mnie najprostszym rozwiązaniem byłoby zastosowanie w obu przypadkach XOR, gdzie wszystko jest jasne. Dwa zdania są sprzeczne tylko wtedy, gdy jedno jest prawdziwe a pozostałe jest fałszywe.

Myślę, że powinieneś zacząć od sprecyzowania pojęć, np. co to są zdania sprzeczne, zdanie prawdziwe, fałszywe. Bo wydaje mi się, że mylisz syntaktykę z semantyką.
JK

[Wizard]

Za zdania sprzeczne uważam dwa zdania, z których jedno jest zaprzeczeniem drugiego. Innymi słowy jeśli jedno ma wartość logiczną 1 to pozostałe ma wartość logiczną 0 (i na odwrót).

Pozdrawiam
Wizard

[Jan Kraszewski]

A jak rozumiesz stwierdzenia

Co w takim razie w sytuacji, gdy oba zdania są fałszywe. Tabela zero-jedynkowa dla tego prawa jasno pokazuje, że dwa zdania mogą być sprzeczne gdy obydwa człony (\(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\)) są fałszywe!

i

Jak mam zrozumieć sytuację, gdy oba zdania są prawdziwe (to dla mnie w ogóle niezrozumiała sytuacja, by zdanie p oraz jego zaprzeczenie były jednocześnie prawdziwe - mimo to prawo to przewiduje taką możliwość i określa taki układ jako nadal zdania sprzeczne).

?
Bo zdanie i jego zaprzeczenie istotnie nie mogą być równocześnie prawdziwe...
JK

[Wizard]

No właśnie z tabeli zero-jedynkowej wynika, że dwa zdania sprzeczne mogą być jednocześnie prawdziwe. Oto tabela zero-jedynkowa dla prawa wyłączonego środka

\(\displaystyle{ p p}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
p & & p \\ \hline
0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Interpretuję to tak:
linia 1: dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie fałszywe. OK
linia 2: zdanie \(\displaystyle{ p}\) jest fałszywe i jednocześnie \(\displaystyle{ \sim p}\) jest prawdziwe. OK
linia 3: zdanie \(\displaystyle{ p}\) jest prawdziwe i jednocześnie \(\displaystyle{ \sim p}\) jest fałszywe. OK
linia 4: dwa zdania sprzeczne MOGĄ być jednocześnie prawdziwe. Tego nie rozumiem.

Pozdrawiam
Wizard

[klaustrofob]

a skąd w tej tabeli wiersze 1 i 4? przecież ~p zależy od p i nie może przybierać dowolnych wartości.

[Wizard]

Prawo wyłączonego środka podawane jest (słownie) w następujący sposób: Z dwóch zdań \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) co najmniej jedno jest prawdziwe. Z takiej wypowiedzi wynika dla mnie, że jedno bądź oba zdania mogą być prawdziwe. To się potwierdza w przytoczonej tabeli zero-jedynkowej.

Pozdrawiam
Wizard

[JankoS]

Prawo wyłączonego środka podawane jest (słownie) w następujący sposób: Z dwóch zdań \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) co najmniej jedno jest prawdziwe. Z takiej wypowiedzi wynika dla mnie, że jedno bądź oba zdania mogą być prawdziwe. To się potwierdza w przytoczonej tabeli zero-jedynkowej.

Pozdrawiam
Wizard

Tabelka jest zła. Zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą mieć tych samych wartości logicznych. Gdyby tabelka była dobra (a nie JEST) a prawo było prawem (a JEST), to w kolumnie kolumnie odpowiadającej zdaniu \(\displaystyle{ p ( p)}\) powinny być same "prawdy", co Kolega oznacza 1. Przecież jednym z podsrawowych sposobów sprawdzania czy jakieś zdanie jest tautologią kest metoda zero-jedynkowa. Jężeli po zastosowaniu jej do danego zdania otrzymamy w "ostatniej" kolumnie coś innego od1, to zdanie to nie jest tautologią.
U Kolegi tą ostatnią" kolumną jest kolumna 2 (chyba?), a z niej wynika, że Grecy się mylili i to prawo nie jest ... prawem.

[Jan Kraszewski]

Problem jest dużo bardziej prozaiczny (dlatego zadawałem pytania dodatkowe, bo tego się spodziewałem). Otóż Wizard został źle nauczony robienia tabelek - tabelkę powyżej zrobił tak, jakby miał do czynienia z dwiema niezależnymi zmiennymi zdaniowymi (czyli po prosto zrobił tabelkę alternatywy...). Tymczasem zdania \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ \sim p}\) nie przyjmują wartości logicznych niezależnie od siebie - to, jaką wartość logiczną przyjmuje \(\displaystyle{ p}\) jednoznacznie determinuje, jaką wartość logiczną przyjmie \(\displaystyle{ \sim p}\).

Mam nadzieję, Wizard, że wystarczy Ci to do poprawnego wykonania tabelki. Jeśli nie, to pisz, będziemy dalej tłumaczyć.

JK

[Wizard]

Panowie,

Dziękuję, że zaintersowaliście się moim problemem. Niestety nie dotykacie esencji tego problemu. Być może wynika to z tego, że coś źle od początku tłumaczyłem. Ale do rzeczy... Oba prawa są już dla mnie zupełnie jasne. Wskazówki znalazłem w świetnym artykule na temat z . Polecam przeczytać, bo takich wiadomości jak tam, nie znalazłem w żadnej książce matematycznej. Jednym z kluczowych elementów (a przynajmniej ważnych dla mnie) jest fakt, że najpierw powstało prawo niesprzeczności a z niego wynika dopiero prawo wyłączonego środka. Dowiedzieć się także można, że właściwa nazwa pierwszego prawa, to PRAWO NIESPRZECZNOŚCI. Używa się co prawda także nazwy prawo sprzeczności, ale takie właśnie sformułowanie spowodowało u mnie niezrozumienie. Przynajmniej Helena Rasiowa w swoim Wstępnie do Matematyki Współczesnej nazywa to prawo: PRAWEM WYŁĄCZONEJ SPRZECZNOŚCI, co jest dla mnie jak najbardziej do zaakceptowania. Od tej pory będę więc posługiwać się nazwą Prawo Niesprzeczności.

Panie Janie,
Stwierdził Pan, że przy dowodzeniu metodą zero-jedynkową rozważam zdania \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) jako dwie niezależne zmienne, a chodzi przecież o jedno zdanie. W zasadzie tak, ale jeśli chodzi o dowód, to rozważamy tutaj jak najbardziej wszystkie możliwe kombinacje. Generalnie o to tu właśnie chodzi.
Przejdźmy do prawa niesprzeczności:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\sim & p & \wedge & \sim p \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Oto deficja Leitnera i Żakowskiego: z dwóch zdań \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) co najmniej jedno jest fałszywe. Prawo to orzeka, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe.

A oto analiza tego układu.
Kluczem do zrozumienia tego prawa jest właśnie ostatni wiersz tabeli, kiedy oba zdania są jednocześnie prawdziwe, co rozumiemy jako sprzeczność. Wprowadzenie negacji w tym prawie eliminuje tą sprzeczność i pokazuje nam warunek, kiedy dwa zdania nie są sprzeczne. Oba zdania \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) nie są sprzeczne wtedy, gdy nie są jednocześnie prawdziwe. Z tego wyłania się jeszcze jeden bardzo ważny wniosek. Tutaj dopiero skupiamy się na pojedynczej zmiennej \(\displaystyle{ p}\). Otóż zdanie \(\displaystyle{ p}\) nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe. To było dla mnie ważne odkrycie, gdyż żadna książka, którą posiadam, tego w ten sposób nie tłumaczy. Ta definicja pochodzi wprost od Arystotelesa, który to prawo de facto wymyślił.

Teraz dochodzimy do wiersza pierwszego: dwa zdania niesprzeczne mogą być jednocześnie fałszywe? Ten pierwszy wiersz tabeli pozornie nie wyklucza bowiem istnienia trzeciej możliwości. Wrócę do przykładu z kątami. Mając zdania:

kąt prosty jest > 90 stopni

oraz

kąt prosty jest < 90 stopni

mamy do czynienia ze zdaniami jednocześnie fałszymi, które nie są sprzeczne, z punktu widzenia tego prawa. To jest tzw. sprzeczność w ujęciu potocznym. Istnieje tutaj trzecia możliwość: kąt prosty jest = 90 stopni. I dopiero zestawienie dwóch zdań:

kąt prosty jest > 90 stopni

oraz

kąt prosty jest = 90 stopni

daje nam prawidłowe zdanie niesprzeczne. Dlaczego prawidłowe?

To nie jest takie zupełnie łatwe do zrozumienia. Jak już napisałem wcześniej kluczem jest ostatni wiersza tabeli. Skoro dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe, to wiadomym jest, że nie mogą być jednocześnie fałszywe. Można to udowodnić odpowiednimi przekształceniami. I na tej podstawie można odrzucić wiersz pierwszy jako opisujący zdanie typowo sprzeczne.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla prawa wyłączonego środka, które wynika z prawa niesprzeczności. Dlaczego wynika? To już jest ładnie opisane w artykule ze Stanford University.

Jedna z osób w tym wątku stwierdziła, że prawo niesprzeczności i prawo wyłączonego środka są tautologiami. Istotnie są. Są zawsze prawdziwe bez względu na to, jaką wartość logiczną podstawimy pod \(\displaystyle{ p}\). Przy czym tutaj wiemy już co to są zdania sprzeczne i układ sprzeczny z góry odrzucamy. Wtedy pozostaje nam rozważać tą tautologię bez sytuacji sprzecznej, czyli bez jednoczesnej fałszywości oraz prawdziwości zdania \(\displaystyle{ p}\). I wtedy pozostaje nam już tylko klasyczny układ dwóch możliwości:

\(\displaystyle{ p = 1}\) i \(\displaystyle{ \sim p = 0}\)
\(\displaystyle{ p = 0}\) i \(\displaystyle{ \sim p = 1}\)

Dwie dodatkowe możliwości, które wcześniej opisywałem odrzucam, jako sprzeczne z definicji. Powiem więcej: będę je odrzucać już zawsze z wyjątkiem jednej sytuacji. Sytuacji kiedy rozważam samą zasadę działania prawa niesprzeczności oraz wyłączonego środka.

I wszystko gra.


Pozdrawiam
Wizard

[Jan Kraszewski]

Trzeba było od razu napisać, że chodzi o filozofię, a nie matematykę...
JK

[Wizard]

Nie potrzebowałem tego pisać. Matematyka przenika się z filozofią.

Pozdrawiam
Wizard

[Jan Kraszewski]

Istotnie, ale matematyk patrzy na to inaczej niż filozof...

JK

[rafal3006]

Przejdźmy do prawa niesprzeczności:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\sim & p & \wedge & \sim p \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Oto deficja Leitnera i Żakowskiego: z dwóch zdań \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \sim p}\) co najmniej jedno jest fałszywe. Prawo to orzeka, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe.

Teraz dochodzimy do wiersza pierwszego: dwa zdania niesprzeczne mogą być jednocześnie fałszywe? Ten pierwszy wiersz tabeli pozornie nie wyklucza bowiem istnienia trzeciej możliwości. Wrócę do przykładu z kątami. Mając zdania:

kąt prosty jest > 90 stopni

oraz

kąt prosty jest

mamy do czynienia ze zdaniami jednocześnie fałszywymi, które nie są sprzeczne, z punktu widzenia tego prawa. To jest tzw. sprzeczność w ujęciu potocznym.

Te zdania są jednocześnie fałszywe, tyle że to dwa zupełnie różne zdania p i q, nigdy p i ~p.

Poprawnie masz tak:
p= kąt prosty jest większy od 90 stopni
~p = kąt prosty jest mniejszy lub równy 90 stopni

To jest matematyka na poziomie gimnazjum ...

Oczywiście p jest fałszywe, zaś ~p prawdziwe. Nigdy nie mogą być zdania p i ~p jednocześnie prawdziwe czy fałszywe bo fundament algebry Boole'a jest taki.

Y#~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia.

Oczywiście operując śmietnikowym aparatem matematycznym, twoja tabelka, udowodnisz co zechcesz.

Nie masz żadnych szans na podanie konkretnego przykładu w którym zdania p i ~p byłyby jednocześnie prawdziwe lub fałszywe, próbuj dalej ...

Logika człowieka = algebra Boole'a - dowód w podpisie.

Prawa matematyczne algebry Boole'a są takie:

A*~A = 0 - tu jest gwarancja że obie zmienne nie mogą być równe 1
A+~A = 1 - tu jest gwarancja że obie zmienne nie mogą być równe 0
CND


Przykład:
ciepło#zimno
ciepło#nie ciepło
A#~A
Wyobraźmy sobie że żyjemy w kolejnych Wszechświatach w których rozpiętośc temperatur jest coraz mniejsza. W n-tym Wszechświecie różnica temperatur może być dowolnie mała ale istnieje. W takim Wszechświecie istnieją jeszcze pojęcia ciepło-zimno. We Wszechświecie gdzie różnica temperatur jest równa zeru pojęcia ciepło i zimno nie istnieją - znikaja z tego Wszechświata, z tego punktu odniesienia.

Tylko dla nieskończenie małej różnicy temperatur możemy zapisać:
Ciepło = nie ciepło
Y=~Y