Całka oznaczona

[Adamicki]

Mam za zadanie policzyć siłę normalną w pręcie o przekroju prostokątnym o wymiarach b x h . Osie x i y przechodzą przez środek ciężkości prostokąta, a jego bok o długośći h jest równoległy do osi y.

Potrzebuję obliczyć całkę: \(\displaystyle{ \iint}\)\(\displaystyle{ \frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}}dA}\)

Jak się do tego prawidłowo zabrać? Jeśli to istotne, to zadanie ma być wykonane w Mathematice. Z góry dzięki za pomoc.

[luka52]

O ile dobrze zrozumiałem treść, to:
różniczka powierzchni dA to po prostu dxdy, pozostaje jeszcze wyznacyć granice całkowania, ale jako że całkujemy po prostokącie jest to dziecinnie proste. Ostatecznie należy wprowadzić do Mathematici następującą całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} t\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{k}{\sqrt{x^2 + y^2 + 3k^2}} \, \mbox{d}y \, }\).

[Adamicki]

Dobrze zrozumiałeś. Tylko niestety chyba nie umiem tego wprowadzić z odpowiednimi założeniami, bo wychodzi kilka linijek odpowiedzi, które mi nic nie mówią. A wpisuję komendę:

Integrate[L/(y^2 + z^2 + 3*L^2)^(1/2), {y, -h/2, h/2}, {z, -b/2, b/2}] Acha, jeszcze k, które zamieniłem na L jest >0. Jak to w Mathematice uwzględnić?

[luka52]

Założenia podaj jako końcowy argument funkcji Integrate:
\(\displaystyle{ \text{Integrate}\left[\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}},\left\{x,\frac{-b}{2},\frac{b}{2}\right\},\left\{y,\frac{-h}{2},\frac{h}{2}\right\},\text{Assumptions}\to k>0\right]}\)

[Adamicki]

Wpisałem to, co poleciłeś i wyszło coś takiego, jak niżej. Nie podoba mi się efekt końcowy, jak mam go rozumieć, bo wygląda to jak brzydka kupa. Co oznaczają te dwie pionowe kreski obok siebie?

Kod: Zaznacz cały

2 k If[(Sqrt[3] + 6 k Im[1/b] <= 0 || 6 k Im[1/b] >= Sqrt[3] || 
     Re[b] != 0) && (Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] <= -1 || 
     Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] >= 1 || 
     Im[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] != 0), 1/(
  2 h Sqrt[b^2 + h^2 + 
    12 k^2])(2 b h Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]
      ArcSinh[Sqrt[h^2]/Sqrt[b^2 + 12 k^2]] - 
    4 Sqrt[3] Sqrt[h^2] k Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(
     b^2 + h^2 + 12 k^2)/(b^2 + 12 k^2)]
      ArcTan[(b h)/(2 Sqrt[3] k Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2])] - 
    h Sqrt[h^2] Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(b^2 + h^2 + 12 k^2)/(
     b^2 + 12 k^2)] Log[-b + Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]] + 
    h Sqrt[h^2] Sqrt[b^2 + 12 k^2] Sqrt[(b^2 + h^2 + 12 k^2)/(
     b^2 + 12 k^2)] Log[b + Sqrt[b^2 + h^2 + 12 k^2]]), 
  Integrate[b ArcSinh[Sqrt[h^2]/(2 Sqrt[3 k^2 + (-b/2 + b x)^2])], {x, 0, 1}, 
   Assumptions -> k > 0 && ! ((Sqrt[3] + 6 k Im[1/b] <= 0 || 6 k Im[1/b] >= Sqrt[3] || 
          Re[b] != 0) && (Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] <= -1 || 
          Re[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] >= 1 || 
          Im[Sqrt[-h^2 - 12 k^2]/b] != 0))]]

Wiele nie widać, ale nie mogę jeszcze zamieszczać obrazków, ani linków..

[luka52]

Nie wiem której wersji używasz, ale w 6 jest taka fajna opcja 'Edit'->'Copy As'->'LaTeX' i wtedy można elegancko wkleić gotową formułkę między tagi 'tex' na forum.
Pionowe kreski '||' oznaczają po prostu lub. Mathematica jak widać rozważa bardzo dużo przypadków .
Imho lepiej to zrobić 'manualnie' tj. obliczyć nieoznaczoną i samemu uwzględnić granice lub podopisywać tyle założeń, by program nie miał dwuznaczności co do wyniku.

Tak na szybko policzyłem i chyba wychodzi:
\(\displaystyle{ -b k+2 \sqrt{3} k^2 \text{ArcCot}\left[\frac{2 \sqrt{3} k}{b}\right]-\frac{1}{2} b k \text{Log}[4]-\frac{1}{2} h k \text{Log}[4]+\frac{1}{2} h k \text{Log}\left[-b+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} h k \text{Log}\left[b+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} b k \text{Log}\left[-h+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]+\frac{1}{2} b k \text{Log}\left[h+\sqrt{b^2+h^2+12 k^2}\right]}\)
Z tymi logarytmami można zrobić porządek, ale to już chyba samemu trzeba.

[Adamicki]

Akurat używam wersji 6, to zacznę Latexować. Mógłbyś podać jaki kod wklepałeś do swojej Mathematici, żeby uzyskać taki wynik?

[luka52]

Za każdym razem coś innego mi wychodzi :/
Ale teraz wpisanie
\(\displaystyle{ \text{Expand}\left[\text{FullSimplify}\left[\text{Integrate}\left[\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+3k^2}},\left\{x,\frac{-b}{2},\frac{b}{2}\right\},\left\{y,\frac{-h}{2},\frac{h}{2}\right\}, \text{Assumptions}\to k>0\&\&b\neq 0\&\&h\neq 0\&\&\text{Im}\left[\sqrt{-h^2-12 k^2}\right]\neq 0\&\&b\in \text{Reals}\&\&h>0\&\&b>0\right]\right]\right]}\)
powinno ostatecznie zakończyć problem

(niestety długa formułka o strona się rozjeżdża )

[Adamicki]

No teraz to jest perfekt. Czyli nie ma innej rady jak najpierw policzyć na pałę, zobaczyć do czego się przyczepi i wtedy wprowadzić dodatkowe warunki, tak? Oprócz tego chyba dałeś raz warunek, że b,h różne od 0, a potem, że b,h>0? Dzięki wielkie za pomoc.

[luka52]

A tak, bo co chwila dodawałem nowe założenia i nie patrzyłem na to co już było

A co do obliczania jeszcze to tak jak wcześniej pisałem - można też obliczyć nieoznaczoną a potem uwzględnić granice. Wszystko przebiega wg identycznego schematu jak na papierze.

[Adamicki]

Haha, już mi nie przypominaj o papierze. Od kiedy zostałem zdopingowany do zabawy z Mathematicą już wiem, że nie będę się bawił w papier. Dzięki za pomoc.

[ Dodano: 21 Maj 2008, 01:55 ]
Jeszcze mam takie pytanie. Co należy zrobić, żeby po użyciu komendy Manipulate[h, {h, 0, Infinity}] i ustaleniu wartości h móc ja przypisać na stałe bez ręcznego wpisywania, że h=jakas konkretna wartość? Albo jaką inną komendą "załatwić" sprawę?