granica ciągu

[MitS]

Witam serdecznie,

dostałem kilka zadanek do zrobienia z granic ciągu, no i niestety zostały mi dwa których nie potrafię zrobić tzn.

a.) \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{2 ^{n} + 5 ^{n}}}\)
b.) \(\displaystyle{ a_{n} = ft( \frac{n ^{2} }{n ^{2} - 1} \right) ^{-n ^{2} + 1}}\)

i teraz tak pierwsze mniej więcej wiem jak się rozwiązuje tylko problem tkwi w pierwiastku n-tego stopnia - co robi się z tym n-stopniem ?
Zaś przykładu b w ogóle nie za bardzo kapuje i prosiłbym o poprawne rozwiązanie najprostszym sposobem tak bym mógł to zrozumieć i stosować ten sposób dla innych przykładów tego typu.

Będę wdzięczny za pomoc.
Pozdrawiam

[aga92]

a) Wskazówka: Skorzystaj z twierdzenia o trzech ciągach

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (\frac{n^{2}}{n^{2} - 1})^{- n^{2} + 1} = \lim_{n \to } (1 + \frac{1}{n^{2} - 1})^{-n^{2} +1} = \lim_{n \to } ((1 + \frac{1}{n^{2} - 1})^{n^{2} -1})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}}\)

[Szemek]

a) z tw. o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ 5 \sqrt[n]{5^n} q \sqrt[n]{2^n+5^n} q \sqrt[n]{2 5^n} \to 5}\)

[limes123]

Pierwsze z tw o trzech ciągach.

[MitS]

Oki dzięki za pomoc, ale mam jeszcze jedno pytanie i prośbę o sprawdzenie pierwszego

czy w a.) wynikiem jest: \(\displaystyle{ \lim_{ \to } \sqrt[n]{ 2^{n} + 5 ^{n} } = 1}\) ??
zaś co do b.) to skąd się wzieło z:

\(\displaystyle{ \lim_{ \to } ft( \frac{ n^{2} }{n^{2} - 1} \right) ^{-n^{2}+1}}\)

to:

\(\displaystyle{ \lim_{ \to } ft( 1 + \frac{ 1 }{n^{2} - 1} \right) ^{-n^{2}+1}}\)
??

chodzi o zamianę n^2 na 1 + 1/n^2 - 1

[aga92]

Nie, to oznacza, że ta granica ma wartość \(\displaystyle{ 5}\).

\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n^{2}-1} = \frac{n^{2}-1+1}{n^{2}-1} = \frac{n^{2}-1}{n^{2}-1} + \frac{1}{n^{2}-1} = 1 + \frac{1}{n^{2}-1}}\)

[MitS]

eeee chodziło mi o 5 x) zle napisałem
a co do wyjaśnienia to już rozumiem i bardzo dziękuje

Pozdrawiam