zbieżność szeregów - kryterium całkowe

[apsik]

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ } \frac{1}{n ln ^{1+s}(n) }}\)
2. \(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{ } \frac{1}{n lnn lnln(n)}}\)
3.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{(n+1) ln ^{2} (n+1) }}\)
4. \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ } \frac{1}{ \sqrt{n}} ln( \frac{n+1}{n-1})}\)

jak to zrobić?

[klaustrofob]

to chyba trzeba całki obliczać. np. w 1.
\(\displaystyle{ \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\cdot\ln^{1+s}(x)}}\) tu chyba się podstawia \(\displaystyle{ \ln(x)=t,\ \frac{dx}{x}=dt}\). całka (nieoznaczona) przechodzi w całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dt}{t^{1+s}}}\). po obliczeniu wracamy do starej zmiennej i obliczamy granicę w +oo.

ten sam trik pójdzie w 2 (podstawienie t=ln(ln(x))) i 3.

[apsik]

no dobra, a co z 4? co tam podstawic czy jak to rozwiazac?

[klaustrofob]

w 4 to ja bym porównawcze zastosował. starczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n}}=2}\). dlaczego tak jest? bo pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln(1+2x)}\) w 0 jest równa 2, a ta pochodna to nic innego jak granica \(\displaystyle{ \lim{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x}}\). biorąc x=1/(n-1) otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n-1}}=2}\), ale przecież \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n}}}\)

dlatego nasz szereg jest porównywalny z harmonicznym rzędu 3/2 i dlatego zbieżny.