zbiór częściowo uporządkowany

[madziorek]

Witam
Mam problem z poniższym zadaniem:

Niech F(N) oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N. Czy (F(N),\(\displaystyle{ \subseteq}\) ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym?
Wskaż elementy minimalne i maksymalne, o ile istnieją.
Czy dla dowolnych elementów A, B z F(N) istnieje kres górny (kres dolny) zbioru {A,B} w F(N)? Jeżeli tak, to jaki?

Z góry dziękuje za pomoc:)
Pozdrawiam

[wjzz]

Czy (F(N), ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym?

Tak. Tak naprawdę, to dla dowolnego zbioru A, \(\displaystyle{ (A, )}\) jest częściowym porządkiem. Jest tak dlatego, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzi:

\(\displaystyle{ A A}\)
\(\displaystyle{ A B B A A = B}\)
\(\displaystyle{ A B B C A = C}\)

A to dokładnie zapewnia nam wymagane: zwrotność, (słabą) antysymetrię, przechodniość.

Wskaż elementy minimalne i maksymalne, o ile istnieją.

Ponieważ \(\displaystyle{ \varnothing}\) jest skończonym pozdbiorem zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i dla dowolnego zbioru A mamy \(\displaystyle{ \varnothing A}\), to wnosimy, że \(\displaystyle{ \varnothing A}\), czyli \(\displaystyle{ \varnothing}\) jest elementem najmniejszym w F(\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) (a zatem jedynym elementem minimalnym). W F(\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) nie ma elementów maksymalnych. Dlaczego? Skoro wszystkie elementy tego zbioru są skończone, a \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) jest nieskończony, to zawsze możemy do danego zbioru B dołączyć element większy o 1 od największego elementu w B (w każdym skończonym, niepustym podbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje element największy, więc wolno tak zrobić). Powstanie nam zbiór większy od zbioru B (większy w sensie zawierania). Tak więc nie ma w F(\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) elementów maksymalnych.

Czy dla dowolnych elementów A, B z F(N) istnieje kres górny (kres dolny) zbioru {A,B} w F(N)? Jeżeli tak, to jaki?

Tak. Ogólnie, jęśli mamy zbiory uporządkowe relacją \(\displaystyle{ \subseteq}\) to kresy górne i dolne to odpowiednio suma i iloczyn tych dwóch zbiór. Oczywiście pod warunkiem, że te sumy i iloczyny należą do naszego głównego zbioru! Jako, że suma oraz cześć wspólna dwu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym, to jest dobrze

[madziorek]

Dziękuje