zbiory wartości

[johny111]

Niech A jest zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = log _{4} (x ^{2}-2x+5)}\), a B zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \sqrt{2|x+1|-|x-2|+5}}\) wyznacz AB

[soku11]

Dziedzina funkcji f(x) jest zbior liczb rzeczywistych (funkcja pod logarytmem jest zawsze wieksza od zera). Aby zbadac zbior wartosci poslugujemy sie pochodna i granicami:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\\
f(x)=\log_4(x^2-2x+5)=\frac{\ln(x^2-2x+5)}{\ln 4}\\
f'(x)=\frac{1}{\ln 4} \frac{2x-2}{x^2-2x+5}\\
f'(x)=0\ \iff\ \ 2x-2=0\\
x_0=1\\
f_{min}=f(1)=\log_{4}(1-2+5)=\log_44=1\\}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ Y_f=[1;+infty)=mathbb{A}\}\)

Druga funkcja takze istnieje dla kazdego x rzeczywistego. Trzeba ja wiec rozbic na przedzialy:
\(\displaystyle{ g(x)=egin{cases}
sqrt{2(-x-1)-(-x+2)+5} , xin(-infty;-1)\
sqrt{2(x+1)-(-x+2)+5} , xin[-1;2)\
sqrt{2(x+1)-(x-2)+5} , xin[2;+infty)end{cases}}\)

Teraz to skracasz i badasz zmiennosc kazdej funkcji oddzielnie + punkt skrajne (-1 oraz 2). Z tego ci powinno wyjsc:
\(\displaystyle{ g_{min}=f(-1)=sqrt{2|-1+1|-|-1-2|+5}=sqrt{-|-3|+5}=sqrt{2}\
Y_g=[sqrt{2};+infty)=mathbb{B}}\)

Teraz juz tylko:
\(\displaystyle{ mathbb{A}ackslashmathbb{B}=[1;sqrt{2})}\)

POZDRO

[johny111]

a inaczej sie nie da rozwiazać zgodnie z nową podstawa programową?

[soku11]

To, ze nie ma pochodnych nie znaczy ze nie mozna ich uzywac... I wydaje mi sie, ze to najbardziej elementarna metoda... Mozna jeszcze sie bawic bardziej teoretycznie, tj np. do logarytmu: Korzystajac z jego wlasciwosci mozna ocenic, ze skoro funkcja pod logarytmem jest stale dodatnia oraz >1, to najmniejsza wartosc bedzie w punkcie wierzcholka paraboli czyli dla \(\displaystyle{ x=1}\) Dla x w nieskonczonosci bedzie to nieskonczonosc - to juz wiadomo.
A dla funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{h(x)}}\) wiemy, ze jej zbior to jest zawsze \(\displaystyle{ [0;+infty)}\) oraz ze jest to funkcja scisle rosnaca. Ale ze mamy nalozone przedzaily z lewej i prawej strony to jej wartosci max i min beda na krancach tych przedzialow. Wystarczy je policzyc i wybrac najmniejsza. Najwieksza to oczywiscie dla przedzialow z nieskonczonoscia i bedzie to tutaj nieskonczonosc...
Trudno to przelac na monitor, ale mam nadzieje ze cie choc troche naprowadzilem na rozwiazanie POZDRO

[johny111]

dzięki x)

[JankoS]

To, ze nie ma pochodnych nie znaczy ze nie mozna ich uzywac... I wydaje mi sie, ze to najbardziej elementarna metoda...

W związku z tym nasuwa się pytanie: Skąd się wzięła ta "metoda elementarna" .
Czy mur jest konstrukcją mniej złożoną od cegieł? Jeśli tak, to z jakiego punktu widzenia.
Chodzi o to, że zadanie to można równie łatwo rozwiązać bez pochodnych.
Uczenie się rachunku różniczkowego, tylko w celu rozwiązania tego zadania, jest z punktu widzenia racjonalnośći działania... trochę nieracjonalne.