Wartości funkcji dwóch zmiennych.

MarcinX · Post autor: **MarcinX** » 10 maja 2008, o 20:16

Czy jeśli mam znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych na obszarze, którym jest trójkąt o wieszchołkach (0,0) (0,4) (4,0) to czy muszę badać ekstrema po brzegu wzdłuż osi OY (czyli przyjąć jeden brzeg x=0)?

wjzz · Post autor: **wjzz** » 10 maja 2008, o 20:24

Jeżeli szukasz ekstremów, to wystarczy policzyć różniczek zupełnych I i II stopnia i następnie wyznaczyć, które z punktów mieszczą się na tym obszarze. Gdybyś jednak miał jako zadanie wyznaczenie wartości największej i najmniejszej funkcji w tym obszarze, to wtedy trzeba też osobno zbadać co się dzieje na bokach, bo funkcja może nie mieć ekstremum na boku, ale może przyjmować tam wartość największą lub najmniejszą.

MarcinX · Post autor: **MarcinX** » 10 maja 2008, o 20:29

No właśnie mam wykazać wartości największą i najmniejszą... Na cwiczeniach było to robione ale nie zwróciłęm uwagi i nie wiem czy się zagapiłem, że nie mam sprawdzonego tego brzegu. W sumie jak przyjmę krawędź x=0 to nie mam jakby co podstawić za y w badanej funkcji. Czyli można powiedzieć, że krawędzi x=0 nie bada się?

wjzz · Post autor: **wjzz** » 10 maja 2008, o 20:36

Nie napisałeś o jaką dokładnie funkcję Ci chodzi, ale z tego co rozumiem to nie w tym problem. Żeby rozważyć przypadek \(\displaystyle{ x = 0}\) to najprościej zdefiniować pomocniczą funkcję (np. g) jednej zmiennej y w ten sposób:
\(\displaystyle{ g(y) = f(0,y)}\)
Funkcję g badasz już "normalnie".

MarcinX · Post autor: **MarcinX** » 10 maja 2008, o 20:42

Aha.. W ten sposób... Hmm... No jeszcze pomyślę.. Mam jeszcze takie pytanie. Jak wyobrazić sobie wartoś funkcji dwóch zmiennych na jakimś obszarze? Czy to jest wysokość jakiejś funkji na osi Z czy jak? Tak przestrzennie?

soku11 · Post autor: **soku11** » 10 maja 2008, o 21:06

Dokladnie tak jak mowisz. Wtedy powstaje taka plaszczyzna z polaczonych punktow. Mozesz sobie poszuka jakiegos programu, ktory rysuje wykresy 3D. A co do badania ekstrem na brzegach to trzeba zrobic rzeczywiscie tak jak radzi wjzz. Dla kazedego brzegu robisz oddzielnie. Dodatkowo dla tego ostatniego tworzysz funkcje:
\(\displaystyle{ x(t)=t\\
y(t)=4-t\\
f(t)=4-t}\)

POZDRO

MarcinX · Post autor: **MarcinX** » 10 maja 2008, o 21:12

Już rozumiem... Rozpatrzyłem to w ten sposób. Dzięki. Mam jeszcze pytanie. Czy jeśli mam badać wartości na obszarze koła... To czy muszę rozdzielać brzeg na półokręgi i rozpatrywać jakby dwa brzegi?

soku11 · Post autor: **soku11** » 10 maja 2008, o 22:18

Oczywiscie ze nie Wtedy masz normalnie parametryzacje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}\ \ \ t\in[0;2\pi]}\)

POZDRO