Jak rozwiazac taka calke:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{dx}{5+4sinx}}\)
Całka nieoznaczona trygonometryczna
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4800
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1408 razy
Całka nieoznaczona trygonometryczna
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{5+4sinx} = ... \\
\tan \frac{x}{2} = u \\
dx = \frac{2du}{1+u^2} \\
\sin x = \frac{2u}{1+u^2} \\
... = t \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{5+4 \frac{2u}{1+u^2}} = t \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\frac{5+5u^2+8u}{1+u^2}} = t \frac{2du}{5u^2+8u+5} = \frac{2}{5} t \frac{du}{u^2+\frac{8}{5}u+1} = \frac{2}{5} t \frac{du}{(u+\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2} = \frac{2}{5} \frac{5}{3} \arctan \frac{u+\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} + C = \frac{2}{3} \arctan \frac{5u+4}{3} + C = \\ = \frac{2}{3} \arctan \frac{5\tan \frac{x}{2}+4}{3}+C}\)
skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C, \hbox{ dla }a\neq 0}\)
\tan \frac{x}{2} = u \\
dx = \frac{2du}{1+u^2} \\
\sin x = \frac{2u}{1+u^2} \\
... = t \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{5+4 \frac{2u}{1+u^2}} = t \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\frac{5+5u^2+8u}{1+u^2}} = t \frac{2du}{5u^2+8u+5} = \frac{2}{5} t \frac{du}{u^2+\frac{8}{5}u+1} = \frac{2}{5} t \frac{du}{(u+\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2} = \frac{2}{5} \frac{5}{3} \arctan \frac{u+\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} + C = \frac{2}{3} \arctan \frac{5u+4}{3} + C = \\ = \frac{2}{3} \arctan \frac{5\tan \frac{x}{2}+4}{3}+C}\)
skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C, \hbox{ dla }a\neq 0}\)