Ciąg geometryczny i arytmetyczny + ekstremum

[Xfly]

Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy \(\displaystyle{ r 0}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ q}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+mx+q}\) osiąga minimum większe od \(\displaystyle{ -196}\)

[aga92]

\(\displaystyle{ a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = a_{1} +2 r}\)
\(\displaystyle{ a_{11} = a_{1} +10 r}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{a_{3}}{a_{1}} = \frac{a_{11}}{a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ (a_{3})^{2} = a_{1} \cdot a_{11}}\)
\(\displaystyle{ (a_{1} + 2r)^{2} = a_{1} (a_{1} + 10 r)}\)
\(\displaystyle{ a_{1}^{2} + 4 a_{1} r + 4 r^{2} = a_{1}^{2} + 10 a_{1} r}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{3}{2} a_{1} \Rightarrow a_{3} = 4 a_{1} \Rightarrow q = 4}\)

\(\displaystyle{ f(x) = x^{2} + mx + 4}\)

Funkcja ta osiąga minimum dla \(\displaystyle{ x = - \frac{m}{2}}\) ( \(\displaystyle{ f'(x) = 2x + m}\))

\(\displaystyle{ f( - \frac{m}{2}) > -196}\)
\(\displaystyle{ \frac{m^{2}}{4} - \frac{m^{2}}{2} + 4 >-196}\)
\(\displaystyle{ - \frac{m^{2}}{4}> - 200}\)
\(\displaystyle{ m^{2} < 800}\)

\(\displaystyle{ -200 \sqrt{2}< m }\)