Zbadac zbieznosc szeregow liczbowych
\(\displaystyle{ (a) \sum_{n=1}^{\infty}((-1)^nsin\frac{1}{n} +\frac{i}{n^2})}\)
\(\displaystyle{ (b) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ni^{n-1}}{(1-i)^n}}\)
Zbieznosc szeregow liczbowych
-
gajatko
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
Zbieznosc szeregow liczbowych
a)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}((-1)^nsin\frac{1}{n} +\frac{i}{n^2})=\sum (-1)^n\sin {1\over n}+\sum\frac{i}{n^2}}\)
Pierwszy to ciąg naprzemienny Leibnitza, bo \(\displaystyle{ \sin{1\over n}\to 0}\) nierosące, a drugi zbieżny z kryterium całkowego bo \(\displaystyle{ i\int \frac{1}{x^2}dx=i\frac{-1}{x}\to 0}\). Suma zbieżnych jest zbieżna.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}((-1)^nsin\frac{1}{n} +\frac{i}{n^2})=\sum (-1)^n\sin {1\over n}+\sum\frac{i}{n^2}}\)
Pierwszy to ciąg naprzemienny Leibnitza, bo \(\displaystyle{ \sin{1\over n}\to 0}\) nierosące, a drugi zbieżny z kryterium całkowego bo \(\displaystyle{ i\int \frac{1}{x^2}dx=i\frac{-1}{x}\to 0}\). Suma zbieżnych jest zbieżna.