Charakterystyka ciała

[JustynaB.]

Oto treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem o \(\displaystyle{ 25}\) elementach. Podać jego charakterystykę oraz sprawdzić, z którym z poniższych pierścieni \(\displaystyle{ K}\) jest izomorficzne:
1) \(\displaystyle{ P_{1}=\mathbb{Z}_{5}[X]/(X^{2}+1)}\),
2) \(\displaystyle{ P_{2}=\mathbb{Z}_{5}[X]/(X^{2}+X+1)}\),
3) \(\displaystyle{ P_{3}=\mathbb{Z}_{5}[X]/(X^{2}+X+2)}\)


Wiem, że \(\displaystyle{ Char K=0}\) albo \(\displaystyle{ Char K=p}\), gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathcal{P}}\), czyli zbioru liczb pierwszych. Wiem, żę charakterystyka to jest takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego zachodzi następująca równość:
\(\displaystyle{ n\cdot 1_{K}=\overbrace{1_{K}+\ldots+1_{K}}^n=0_{K}}\)
Nasze ciało jest skończone a więc czy jego charakterystyka wynosi: \(\displaystyle{ 5^{2}}\)?
Jak sprawdzić, czy ciało jest izomorficzne z pierścieniem?

Justyna

[Tomasz Rużycki]

Niezerowa charakterystyka ciala jest liczba pierwsza, jak wiec moze byc rowna 5^2?