[Równania] Dwie sumy

[kluczyk]

zad.1)Niech \(\displaystyle{ S_{k}=1!(1+1^{2})+2!(1+2^{2})+...+k!(1+k^{2})}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{1})S_{1}+(1+ \frac{1}{2})S_{2}+...+(1+ \frac{1}{n})S_{n}=(n+2)!-2}\)

zad.2)Niech \(\displaystyle{ h(k)=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{k}}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} h(k)=n(h(n)-1)}\)

[MarcinT]

ta druga suma jest w pawłowskim niebieskim przecież.

[Wasilewski]

Ale to przecież nieprawda jest, ta druga suma. Weźmy na przykład n=2. Po lewej mamy:
\(\displaystyle{ h(1) + h(2) = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}}\)
A po prawej:
\(\displaystyle{ 2\cdot (1 + \frac{1}{2} - 1) = 1}\)
Czyli raczej nie to samo.
A w pierwszej najpierw udowodnij, że:
\(\displaystyle{ S_k = k(k+1)!}\)
i korzystając z tego spokojnie wykażesz tezę.

[luka52]

2 powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n \mbox h (k) = (n+1)\left( \mbox h (n+1) - 1 \right)}\)

[Wasilewski]

No i to ma sens. A dowód najprościej przeprowadzić indukcyjny.

[kluczyk]

Ok, dzięki. A to jak?:

A w pierwszej najpierw udowodnij, że:
\(\displaystyle{ S_k = k(k+1)!}\)

[Piotr Rutkowski]

Indukcją, a jakżeby inaczej

[kluczyk]

Indukcją, a jakżeby inaczej

Dobra... To może inaczej
Jak Wasilewski wywnioskował, że można to w taki sposób przedstawić

[Wasilewski]

Na chama Po prostu sprawdziłem, kiedy zachodzi teza. Załóżmy indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{1}) S_1 \ldots + (1 + \frac{1}{n}) S_n = (n+2)! - 2}\)
Przy dowodzie wyjdzie nam:
\(\displaystyle{ (n+2)! - 2 + \frac{n+2}{n+1} S_{n+1} = (n+3)! - 2 \\
S_{n+1} = (n+1)(n+2)! \\
S_{n} = n(n+1)!}\)
Ten wzór udowadniamy indukcyjnie i w ten sposób udowadniamy tezę.

[ Dodano: 9 Lipca 2008, 18:35 ]
Wymyśliłem fajny sposób na tę sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (1+k^2)k! = \sum_{k=1}^{n} (k+1)^2 k! - 2 \sum_{k=1}^{n} k k! = \sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+1)! - 2 \sum_{k=1}^{n} kk! = \sum_{k=1}^{n} (k+2)! - (k+1)! -2 \sum_{k=1}^{n} (k+1)! - k! = (n+2)! - 2 - 2 ((n+1)! - 1) = (n+2)! - 2(n+1)! = n(n+1)!}\)
I teraz szukana suma też jest trywialna, bo:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k} k (k+1)! = \sum_{k=1}^{n} (k+2 - 1)(k+1)! = \sum_{k=1}^{n} (k+2)! - (k+1)! = (n+2)! - 2}\)

[ Dodano: 22 Lipca 2008, 14:43 ]
A pierwszą też można nieindukcyjnie. Zauważmy, że w tej sumie składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\) występuje \(\displaystyle{ n+1-k}\) razy. Czyli nasza suma to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} h(k) = \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-k}{k} = (n+1) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} 1 = (n+1) h(n) - n}\)
Teraz skorzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ h(n) = h(n+1) - \frac{1}{n+1} \\
(n+1) h(n) - n = (n+1) (h(n+1) -\frac{1}{n+1}) - n = (n+1) h(n+1) - (n+1) = (n+1)( h(n+1) - 1)}\)
A indukcja jest brzydka.