Pola trójkątów w trapezie

[wojtek6214]

Pola trójkątów , których podstawami sa podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem punkt przecięcia przekątnych trapezu są równe \(\displaystyle{ S _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ S _{2}}\) . Oblicz pole trapezu.

Próbowałem to zrobić, wyliczając pola pozostałych dwóch trójkątów w trapezie ( \(\displaystyle{ S _{3}}\), które są jednakowe, czyli :
a,b- podstawy trapezu ( a- ta dłuższa)

\(\displaystyle{ \frac{S _{3}}{S _{1}}= \frac{b}{a}}\)

oraz z drugiego takiego samego trójkąta:


\(\displaystyle{ \frac{S _{3}}{S _{2}}= \frac{a}{b}}\)

Jednka nie wiem jak dalej czynić ;/

P.S wynik powinien wyjść : \(\displaystyle{ ( \sqrt{ S_{1}} + \sqrt{S _{2} } ) ^{2}}\)

[binaj]

niech O będzie punktem przecięcia się przekątnych trapezu ABCD
\(\displaystyle{ P\Delta ABO = S_{1}}\)
\(\displaystyle{ P\Delta CDO = S_{2}}\)
\(\displaystyle{ P\Delta ADO = P\Delta BCO = S_{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|AO|}{|OB|}= \frac{ P\Delta ADO}{P\Delta ABO} = \frac{P\Delta CDO}{P\Delta BCO}}\)

\(\displaystyle{ \frac{S_{3}}{S_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{3}}}\)

\(\displaystyle{ S_{3}= \sqrt{S_{1} S_{2} }}\)

\(\displaystyle{ P=S_{1}+S_{2}+2S_{3}=( \sqrt{ S_{1}} + \sqrt{S _{2} } ) ^{2}}\)

[CiupaCiupaCiupa]

binaj

Nie rozumiem, skąd wzięłeś taką proporcję. Z czego ona wynika?

[wojtek6214]

Są takie zależności w trapezie odnośnie takich stosunków. Patrz tak jak ja to zapisałem w pierwszym poście. BINAJ po prostu z pierwszej mojej zależności wyznaczył b i podstawił do drugiej zależności i wyszło tak jak wyszło.

[CiupaCiupaCiupa]

To są jakieś "zależności książkowe"? Jeżeli jest to podane w jakies ksiazce, to prosze namiarna nią...

[wojtek6214]

Tzn. wiesz jak chcesz to sobie możesz z kątami i bokami w tych trójkątach pobawić i tez Ci powinny takie zależności wyjść. A co do książki to w kiełbasie jest zadanie by takie zależności udowodnić - II cześć książki dział planimetria zadanie 92.

[binaj]

binaj
Nie rozumiem, skąd wzięłeś taką proporcję. Z czego ona wynika?

Twierdzenie:
Jeżeli punkty \(\displaystyle{ A, \B, \C}\) leżą na jednej prostej, a punkt \(\displaystyle{ D}\) poza nią, to :
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{P \Delta ABD}{P \Delta BCD}}\)

Dowód jest b. krótki : te trójkąty mają wspólną wysokość, więc ich stosunek pól zależy tylko wyłącznie od stosunku podstaw