Zadania

[tomek12333]

1.W trójkącie dane są: a,b oraz cos\(\displaystyle{ \alpha}\).Wyznacz sin\(\displaystyle{ \beta}\)
2.Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \sqrt{2}}\) to \(\displaystyle{ cos^{2} =2 cos ^{2} \beta-1}\)
3.Oblicz długość przekątnych\(\displaystyle{ d_{1}}\)i \(\displaystyle{ d_{2}}\)równoległoboku, którego boki mają długości a i b, zaś kąt ostry ma miarę \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\)
4.W trójkącie ostrokątnym dane są a=2, b=1, sin\(\displaystyle{ \alpha= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\).Oblicz c.
5.W trójkącie ac=4:5:6. Wykaż, że w tym trójkącie cos\(\displaystyle{ \beta=cos^{2}\alpha}\)
6.W trójkącie ABC mamy:|AC|=b,|kątCAB|=\(\displaystyle{ 45^{\circ}}\), |kątACB|=\(\displaystyle{ 15^{\circ}}\). Oblicz długości pozostałych boków trójkąta i długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
7.Przekątna równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego ma długość d i dzieli ten kąt na kąty o miarach \(\displaystyle{ \alpha}\)i\(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz długości boków równoległoboku.
8.W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma miarę\(\displaystyle{ 2\alpha}\). Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego do długości promienia wpisanego w ten trójkąt.

[CiupaCiupaCiupa]

4. Z jedynki trygonometrycznej obliczasz \(\displaystyle{ \cos\alpha}\), mi wyszlo, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{3}}\). Potem lecisz z tw. cosinsów:

\(\displaystyle{ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2*a*b*\cos\alpha}\).

[ Dodano: 4 Maj 2008, 18:54 ]
6. Z tw. sinusów mamy \(\displaystyle{ 2R=\frac{b}{\sin120} ---> R=\frac{b}{2\sin120}}\).

Boki obliczasz również z tw. sinusów, np. \(\displaystyle{ R=\frac{b}{2\sin120}}\) oraz \(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin15}}\). Przyrównujesz R i masz, c obliczasz analogicznie.

[ Dodano: 4 Maj 2008, 19:01 ]
W 7 na początek zauważ, że kąty przy drugim kącie rozwartym są naprzemianległe. Przekątna rozbija równoległobok na dwa trójkąty, skorzystamy tutaj z wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ \sin(180-\alpha)=\alpha}\). Z tw. sinusów mamy, że \(\displaystyle{ R=\frac{d}{\sin(\alpha+\beta)}}\), potem liczymy, że
\(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin\alpha}}\), kolejno tak samo liczysz b. Teraz wystarczy uzależnić nasze niewiadome a i b od danej d.

[ Dodano: 4 Maj 2008, 19:07 ]
W 8 narysuj w trójkącie wysokość h. Dalej oznacz boki jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Masz wtedy obwód \(\displaystyle{ 2x+y}\). Z funkcji trygonometrycznych uzależniasz a od b, tak aby obwód zawierał tylko jedną zmienną. Potem lecisz ze wzorów \(\displaystyle{ P=p*r}\) i \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\). Może się jeszcze przydać wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}*\sin\alpha*a*b}\)

[ Dodano: 4 Maj 2008, 19:27 ]
2. Poprowadź wysokość, zauważ charakterystyczny trójkąt \(\displaystyle{ 30,60,90}\).Potem wyznacz od b wysokość h oraz kawałek dł. boku a. Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{b}{2}=h}\) oraz \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{3}b}{2}}\). Wyliczasz pozostałą część boku a. \(\displaystyle{ d_{1}}\) liczysz z tw. Pitagorasa. Możesz też policzyć przekątnych z tw. cosinusów, np. \(\displaystyle{ d _{1}^{2}=a ^{2} +b ^{2}-2ab\cos30}\). Analogicznie drugą liczysz.

[DoubleB]

3. Tw. cosinusów dla kąta 30 i dla kąta 150 (180-30) oraz boków a i b

Można prosić zadanie 5. ?

[piasek101]

5. Boki to (4x); (5x); (6x). Robiłbym np z kosinusów.