[Teoria liczb] Kongruencje

[CiupaCiupaCiupa]

Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n}\).
Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2002}}\).

Mnie wyszło \(\displaystyle{ 7001}\). Czekam na weryfikację mojego wyniku.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a_{n+20}=a_{n}}\), bo
\(\displaystyle{ (1+...+(n+20)) - (1+...+n)=10(2n+21)}\)
etc

[CiupaCiupaCiupa]

Podobne zadanie:

Liczby \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2002}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2002}=2002^{2002}}\).
Wyznacz resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 6}\) liczby \(\displaystyle{ a^{3}_{1}+a^{3}_{2}+a^{3}_{3}+...+a^{3}_{2002}}\)

[Brzytwa]

Korzystając z tego, iż dla dowlnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a^{3} \equiv a \ (mod \ 6)}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a^{3}_{1}+a^{3}_{2}+a^{3}_{3}+...+a^{3}_{2002} \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2002} = 2002^{2002} \equiv 4^{2002} \equiv 4 \ (mod \ 6 )}\)