Zadania z testu predyspozycji do profilu Matex w XIV LO

[BP]

Oto kilka zadań z testu predyspozycji do Matex'u. Chciałbym poćwiczyć rozwiązywanie zadań z testów z lat ubiegłych, aby dostać się na ten profil. Problem w tym, że nie wszystkie zadania potrafię rozwiązać, dlatego zamieszczam je poniżej oraz proszę o pomoc.

Zadanie 1
Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z,}\) takie, że \(\displaystyle{ x>3^{1/2}, y>3^{1/2}, z>3^{1/2}}\). Wykaż, że\(\displaystyle{ xyz>x+y+z}\).

Zadanie 2
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 3}\), to kwotę \(\displaystyle{ k}\)złotych można wypłacić mając do dyspozycji tylko monety dwuzłotowe i pięciozłotowe.

Zadanie 3
Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej.

Zadanie 4
Czy istnieją takie liczby nieparzyste \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), że\(\displaystyle{ a^{2} + b^{4} + c^{8} = d^{16}}\) ? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 5
W trójkącie prostokątnym\(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest prosty. W trójkącie tym poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ CH}\) i środkową \(\displaystyle{ CD}\). Miara kąta \(\displaystyle{ ABC}\) wyraża się całkowitą liczbą stopni. Wykaż, że miara kąta \(\displaystyle{ DCH}\) wyraża się parzystą liczbą stopni.

Zadanie 6
Dany jest prostokąt o bokach długości\(\displaystyle{ a, b}\) oraz przekątnej długości \(\displaystyle{ d}\). Wykaż, że

\(\displaystyle{ a + b \leqslant d \cdot 2^{1/2}}\)

Zadanie 7
Wyznacz takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y,}\) dla których wyrażenie
\(\displaystyle{ 2x ^{2} + 4y ^{2} - 4xy - 6x + 2004}\)
przyjmuje najmniejszą wartość.

Zadanie 8
Liczbę \(\displaystyle{ 133}\) podzielono przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ a}\) i otrzymano iloraz \(\displaystyle{ k}\) oraz resztę \(\displaystyle{ 23}\). Wyznacz liczby \(\displaystyle{ a, k}\). Podaj wszystkie rozwiązania.

Zadanie 9
Dane są takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ ( \frac{5}{a}) + ( \frac{3}{b}) = 1}\).

Wykaż, że:
a) co najmniej jedna spośród liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest parzysta,
b) obie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są parzyste.

Zadanie 10
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ MBC}\) oraz takie punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\), leżące odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ MB}\) i \(\displaystyle{ MC}\), że na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg. Odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ E}\), a półprosta \(\displaystyle{ ME}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BMC}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| MB\right|= \left| MC\right|}\).

Zadanie 11
Dany jest taki trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), że \(\displaystyle{ \left|AB \right| = 2 \cdot \left|CD \right|}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem ramienia \(\displaystyle{ BC}\). Odcinki \(\displaystyle{ DM}\) i \(\displaystyle{ AC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ E}\).
Oblicz\(\displaystyle{ \frac{ \left|AE \right| }{ \left|EC \right| }}\) .

Zadanie 12
Dany jest graniastosłup czworokątny prawidłowy. Krawędź podstawy \(\displaystyle{ ABCD}\) tego graniastosłupa ma długość \(\displaystyle{ 4}\), wysokość graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 3}\). Punkt \(\displaystyle{ G}\)jest środkiem symetrii ściany bocznej \(\displaystyle{ ABEF}\), punkt \(\displaystyle{ H}\) jest środkiem symetrii tego graniastosłupa. Oblicz objętość wielościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, C, D, G, H}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[Wasilewski]

1)
\(\displaystyle{ xy >3 \\
yz > 3 \\
xz > 3 \\
\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \ \ |\cdot xyz \\
x + y +z < xyz}\)
3)
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1) + \frac{n+1 + (n-1)}{2} = (n^2 - 1)n + n = (n^2 - 1 + 1)n = n^3}\)

[JankoS]

Zad. 3.
\(\displaystyle{ k(k+1)(k+2)+\frac{k+k+1+k+2}{3}=k(k ^{2}+3k+2)+k+1=K ^{3}+3k ^{2}+2k+k+1=k ^{3}+3k ^{2}+3k+1=(k+1) ^{3}.}\)
Zad. 5.
Z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=d ^{2}.}\)
Dla dowolnych rzeczywistych a, b \(\displaystyle{ (a-b) ^{2} \geqslant 0 \rightarrow 2ab \leqslant a ^{2}+b ^{2} \rightarrow a ^{2}+b ^{2}+2ab \leqslant a ^{2}+b ^{2}+a ^{2}+b ^{2}=2d ^{2} \rightarrow (a+b) ^{2}=2d ^{2} \rightarrow a+b \leqslant \sqrt{2}d}\)
Ostatnie przekształcenie (pierwiastkowanie) jest takie, ponieważ a, b ,d są dodatnie.
Zad. 7.
\(\displaystyle{ 2x ^{2}+4y ^{2}-4xy-6x+2004=x ^{2}-6x+9-9+x ^{2}-4xy+4y ^{2} +2004= \\(x-3) ^{2}+(x-2y) ^{2}+1995}\)
najmniejsza wartość (1995) jest dla x=3 i 3-2y=0.

[Wasilewski]

2) Jeśli k jest nieparzyste to możesz dać jedną piątkę i same dwójki, wtedy otrzymasz 5,7,9... złotych. Jeśli k jest parzyste to możesz zapłacić samymi dwójkami.

[Izirix]

Taki temat już był. A poza tym ja też chcę dostać się do matexu i masz złe podejście jeśli chcesz robić zadania z zeszłych lat, bo one na pewno się nie powtórzą! Proponuję Tobie znaleźć jakieś zbiory zadań ( jak chcesz kupić, to propozycje są zamieszczone w tym drugim temacie ). Oczywiście nie musisz kupować, ja wygrzebałem jakieś zbiory dla klas 7 i 8 szkół podstawowych z lat 1997 i 1976 dla uczniów z zainteresowaniami matematycznymi i zadania są na prawdę podobne. Chociaż zamówiłem też jeden zbiór z merlin.pl i mam nadzieję, że uda mi się przygotować wystarczająco dobrze! Do zobaczenia na egzaminie

Pozdrawiam

[szablewskil]

8)Skoro \(\displaystyle{ 133=a*k+23 \Leftrightarrow 110=a*k}\) przy czym pamiętaj że \(\displaystyle{ a>23}\)
zatem jedyną parą spełniającą równanie jest \(\displaystyle{ a=55 k=2}\)

6) tu chyba masz błąd bo dla kwadratu nierówność jets nieprawdziwa

7)\(\displaystyle{ 2x ^{2} + 4y ^{2} - 4xy - 6x + 2004 = (2y-x)^{2}+ (x-3)^{2}+1995}\)
zatem wyrażenie przyjmie wartość namniejszą równą 1995 wtedy gdy liczby podniesione do kwadratu będą równe zero a zatem \(\displaystyle{ x=3 y=1,5}\)

4)\(\displaystyle{ a^{2}+b^{4}+c^{8}=4k+3}\) zaś \(\displaystyle{ d^{16}=4m+1}\) zatem liczba z lewej strony daje inną resztę z dzielenia prze 4 niż liczba z prawej strony, btw jeśli nie znasz to naucz się kongruencji przed egzaminem, życzę powodzenia

[BP]

Masz złe podejście jeśli chcesz robić zadania z zeszłych lat, bo one na pewno się nie powtórzą! Proponuję Tobie znaleźć jakieś zbiory zadań.

Owszem, takich samych zadań nie będzie, ale zauważyłem, że metody do ich wykonywania czasem się powtarzają. Dlatego uważam, że warto się im trochę przyjrzeć.

Zamieszczam kolejną serię zadań.

Zadanie 13
Do zapisania pewnej liczby czterocyfrowej użyto dwóch różnych cyfr, każdej dwukrotnie. Wykaż, że ta czterocyfrowa liczba nie jest liczbą pierwszą.

Zadanie 14
W okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\) poprowadzono średnicę\(\displaystyle{ AB}\) i cięciwę \(\displaystyle{ CD}\), które przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Kąt \(\displaystyle{ CMB}\) ma \(\displaystyle{ 75°}\), a kąt COB ma \(\displaystyle{ 58°}\). Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ ACD}\).

Zadanie 15
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) spełniona jest nierówność:

\(\displaystyle{ 1 - x ^{2} < 2 (2004/2003 - x)}\)
Zadanie 16
Wykaż, że każdy trójkąt można przeciąć na trzy deltoidy.

Zadanie 17
Dany jest graniastosłup prosty trójkątny o podstawach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PQR}\)oraz krawędziach bocznych \(\displaystyle{ AP, BQ, CR}\). Objętość tego graniastosłupa jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego o wierzchołkach \(\displaystyle{ A, B, Q, R}\).

Dzięki wielkie dla tych, którzy mi pomagają.

[binaj]

4.
\(\displaystyle{ a^2+b^4+c^8=d^{16}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^4=d^{16}-c^8=(d^8+c^4)(d^8-c^4)}\)
zatem lewa strona jest podzielna przez 2, ale nie przez 4, a prawa podzielna przez 4

5.
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABC= \alpha = DBC}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle HBC= 90^{o}-\alpha }\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle HCD = HBC - \sphericalangle DBC}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle HCD = 90^{o}-2\alpha= 2(45^{o}-\alpha) \Rightarrow 2| \sphericalangle HDC}\)

10.
\(\displaystyle{ \Delta AEB \Delta DEC}\) (kkk) kąty oparte na tym samym łuku w okręgu i wierzchołkowe, ponieważ E leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \sphericalangle BMC}\) to odległość punktu E od prostych MB i MC jest taka sama, więc trójkąty AEB i DEC są przystające
, więc trójkąt BEC jest równoramienny, więc \(\displaystyle{ \sphericalangle EBC = EBC}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ MBD=MCA}\) (kąty w kole) to istotnie
\(\displaystyle{ \sphericalangle MBC = MCB \Rightarrow MB=MC}\) C.B.D.U.

11.
niech odcinek NM będzie odcinkiem równoległym do AB, a punkt P, punktem przecięcia się AC z MN, czworokąt DCPM jest równoległobokiem (Dlaczego?) a PC i DM przekątnymi przecinającymi się w punkcie E, więc PE=PC, z drugiej strony PM jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ABC, więc AP=PC, czyli AE=3EC

13.
Wskazówka: zapisz liczbę jako \(\displaystyle{ 1000a_{4}+100a_{3}+10a_{2}+a_{1}}\)
i wyciągnij przez nawias jakąś liczbę

[BP]

Oto kolejne zadania.

Zadanie 18
Liczba pierwsza n jest większa od \(\displaystyle{ 2002}\). Wykaż, że jedna z liczb: \(\displaystyle{ (n-1)}\) lub \(\displaystyle{ (n+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\).

Zadanie 19
Dany jest romb o boku długości \(\displaystyle{ \sqrt{23}}\). Suma długości przekątnych rombu jest równa \(\displaystyle{ 12}\). Oblicz pole tego rombu.

Zadanie 20
Dwa okręgi o promieniach \(\displaystyle{ 3cm}\) i \(\displaystyle{ 9cm}\) są styczne zewnętrznie. Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do obu okręgów. Oblicz pole zaznaczonej na rysunku figury.

[wg rysunku krawędziami bocznymi figury są prosta \(\displaystyle{ k}\) oraz łuki obu okręgów]

Zadanie 21
Punkt \(\displaystyle{ W}\) jest środkiem koła wpisanego w trójkąt\(\displaystyle{ ABC}\). Półprosta \(\displaystyle{ AW}\) przecina okrąg opisany na trójkącie\(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |DB| = |DW|}\).

Zadanie 22
Pięciokąt \(\displaystyle{ ABCDE}\) spełnia warunki: \(\displaystyle{ AB || CE}\) i \(\displaystyle{ BC || AD}\). Wykaż, że trójkąty \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ BCD}\) mają równe pola.

Zadanie 23
Liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest większa od \(\displaystyle{ 2000}\). Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), jeżeli wiesz, że \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ n + 2}\) są liczbami pierwszymi.

Zadanie 24
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ xy = 3}\), to \(\displaystyle{ (2 + 3x)(2 + 3y) \geqslant 31 + 12\cdot 3 ^{ \frac{1}{2}}}\).

Zadanie 25
W trójkącie ostrokątnym\(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ CD}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do boku\(\displaystyle{ AC}\), a odcinek \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ H}\), przy czym wiadomo, że \(\displaystyle{ |CD| = |DB|}\) i \(\displaystyle{ |HD| = |DA|}\). Wykaż, że odcinek \(\displaystyle{ BE}\) jest wysokością trójkąta\(\displaystyle{ ABC}\).

Zadanie 26
Podstawy trapezu mają długość \(\displaystyle{ 18cm}\) i \(\displaystyle{ 12cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ 9cm}\). Dwie proste równoległe dzielą każde z ramion trapezu na trzy równe odcinki. Oblicz pole każdej części, na które te proste dzielą trapez.

Zadanie 27
Dany jest ostrosłup czworokątny prawidłowy o podstawie \(\displaystyle{ ABCD}\) i wierzchołku \(\displaystyle{ S}\). W ostrosłupie tym \(\displaystyle{ |AS| = 1}\) oraz \(\displaystyle{ |\sphericalangle ASB|= 20°}\). Na krawędzi \(\displaystyle{ AS}\) obrano punkt \(\displaystyle{ E}\), na krawędzi \(\displaystyle{ BS}\) punkt \(\displaystyle{ F}\) tak, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle DEA| = |\sphericalangle SEF| = |\sphericalangle SFE| = | \sphericalangle BFC|}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ |DE| + |EF| + |FC|}\).

Dziękuje za pomoc.

[Justka]

19.
2x i 2y - długośc przekatnych
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+2y=12 \\ x^2+y^2=23\end{cases}}\)
I pole \(\displaystyle{ \frac{1}{2}xy}\).

[limes123]

18. Każdą liczbe pierwszą można zapisać jako
\(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k-1}\) dla pewnego całkowiego k. Z tego od razu wynika teza.
23. Podobnie

[Pablo09]

25. Należy wykazać, że ką AEB jest prosty. Łatwo zauważyć, że ADC i DHB są przystającymi trójkątami prostokątnymi. Niech kąt DAC będzie \(\displaystyle{ \alpha}\), DCA \(\displaystyle{ \beta}\). Wtedy \(\displaystyle{ DBH=DBE=\beta}\), a że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=90}\) to kąt AEB jest prosty, czyli odcienk BE jest wysokością trójkąta ABC.

[szablewskil]

18) Przez kongruencje dowiedź że dowolna liczba pierwsza większa od 6 jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1 \lor 6m+5}\) inne liczby są albo parzyste albo podzielne przez 3. Zatem skoro liczby pierwsze większe od 2002 są postaci \(\displaystyle{ 6k+1 \lor 6m+5}\) to jesli od dowolnej z nich odejmiemy lub dodamy 1 to dostaniemy liczbe podzielna przez 6

23) Korzystasz z tego samego faktu co wyżej, zatem te dwie kolejne liczby pierwsze to \(\displaystyle{ 6k+5\land 6(k+1)+1}\) zatem liczba między nimi to \(\displaystyle{ n=6(k+1)}\)

[binaj]

18. Każdą liczbe pierwszą można zapisać jako
\(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k-1}\) dla pewnego całkowiego k.

Trzeba ten lemat udowadniać na konkursach? czy można od razu jako założenie?

[Pablo09]

24.
\(\displaystyle{ 4+6(x+y)+9xy \geqslant 31+12 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 31+6(x+y) \geqslant 31+12 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x+y \geqslant 2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3+y ^{2} }{y} \geqslant 2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 3+y ^{2} -2 \sqrt{3}y \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (y- \sqrt{3}) ^{2 } \geqslant 0}\)