zbior punktow przeciecia stycznych prostopadlych

[czerstwy]

jest zadanie:
znajdz zbior punktow przeciecia stycznych do funkcji \(\displaystyle{ x^2}\) jesli te styczne sa do siebie prostopadle

nie wiem jak to zrobic :/

pochodna \(\displaystyle{ f'(x)}\) to jest \(\displaystyle{ 2x}\) i to jest wspolczynnik kier. stycznej to wiem, \(\displaystyle{ \left( X-f \left( X_o \right) =f' \left( X_o \right) \left( X-Xo \right) \right)}\) iloczyn wsp kier. tych stycznych ma byc \(\displaystyle{ -1}\) zeby byly prostopadle.ale co dalej? czy ktos moze napisac jak to rozwiazac?

[W_Zygmunt]

\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=2\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x_1=t}\)
\(\displaystyle{ y_1=t^2}\)
\(\displaystyle{ P_1(t,t^2)}\)
\(\displaystyle{ a_1=2\cdot t}\)
Równanie prostej stycznej w punkcie \(\displaystyle{ P_1}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,2\cdot t\cdot (x-t)+t^2}\)
Teraz szukamy punktu \(\displaystyle{ P_2}\)
Z warunku prostopadłości
\(\displaystyle{ a_2=\frac{-1}{2\cdot t}}\)
Wartość pochodnej w tym punkcie jest równa temu wspólczynnikowi
\(\displaystyle{ f'(x_2)=a_2}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot x_2\,=\,\frac{-1}{2\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ x_2\,=\,\frac{-1}{4\cdot t}}\)
Wartość funkci w punkcie \(\displaystyle{ P_2}\)
\(\displaystyle{ y_2\,=\,(\frac{-1}{4\cdot t})^2}\)
\(\displaystyle{ y_2\,=\,\frac{1}{16\cdot t^2}}\)
\(\displaystyle{ P_2(\frac{-1}{4\cdot t},\frac{1}{16\cdot t^2})}\)
Równanie prostej stycznej w punkcie \(\displaystyle{ P_2}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{2\cdot t}\cdot (x+\frac{1}{4\cdot t})+\frac{1}{16\cdot t^2}}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,-\frac{8\cdot t\cdot x+1}{16\cdot t^2}}\)
Szukamy punktu T wspólnego leżącego na prostych prostopadłych
\(\displaystyle{ \{\begin{eqnarray} y\,&=&\,t\cdot (2\cdot x-t)\\y\,&=&\,-\frac{8\cdot t\cdot x+1}{16\cdot t^2}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{8\cdot t\cdot x+1}{16\cdot t^2}\,=\,t\cdot (2\cdot x-t)}\)
\(\displaystyle{ t\,=\,-\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}-2\cdot x}{2}}\)
\(\displaystyle{ t\,=\,\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}+2\cdot x}{2}}\)
Podstawiamy za t do pierwszego równania by wyznaczyć zależność y od x
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}+2\cdot x}{2}\cdot (2\cdot x-\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}+2\cdot x}{2})}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,(-\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}-2\cdot x}{2})\cdot (2\cdot x-(-\frac{\sqrt{(4\cdot x^2+1)}-2\cdot x}{2}))}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{4}}\)
Jak widać za każdym razem otrzymujemy
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{4}}\)
Ta prosta jest szukanym zbiorem punktów.

PS Czy mógłbyś, (ze względów estetycznych) zmienić nick?.

[czerstwy]

dzieki za rozwiazanie kompletne, nie bylo to jednak takie proste jak sie wydawalo
nick zmieniony

pozdro

[ Dodano: Pon Kwi 11, 2005 11:17 pm ]
hmm zdawalo mi sie ze zmienilem nick zmiany zapisane ale jednak pozostal ten sam :/ no wiec najlepiej bedzie jak juz sie wiecej nie bede odzywal (bo i tak ten nick tymczasowy mial byc )

[ Dodano: Pon Kwi 11, 2005 11:28 pm ]
zamilcze po ostatnim pytaniu

czy w rozwiazaniu nie trzeba jeszcze zalozyc ze t jest rozne od zera? (t nie moze byc zero bo by bylo dzielenie przez zero)
bo chyba jak t=0 czyli punkt jest (0,0) to bedzie to jedyna styczna do wykresu f(x) ktora nie bedzie posiadala jakies innej stycznej co bedzie z nia prostopadla wiec sie nie traci rozwiazan (niemozliwe to jest bo funkcja jest od nieskonczonosic do nieskonczonosci)

[ Dodano: Wto Kwi 12, 2005 12:15 am ]
zapomnialem dodac ze ostatnie pytanie to bedzie to nastepujace :
w jaki sposob jakims w miare licealnym sposobem policyzc tak ladnie t? (chodzi mi o moment rozwiazywania ukladu 2 stycznych znajdowanie T)

[W_Zygmunt]

Tak rzeczywiście t musi być różne od zera, czyli rozwiązaniem jest prosta \(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{4}}\) bez punktu \(\displaystyle{ (0,\frac{-1}{4})}\).
Jeśli chodzi o rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ -\frac{8\cdot t\cdot x+1}{16\cdot t^2}\,=\,t\cdot (2\cdot x-t)}\)
to możemy przekształcić
\(\displaystyle{ -(8\cdot t\cdot x+1)\,=\,16\cdot t^2\cdot (t\cdot (2\cdot x-t))}\)
\(\displaystyle{ -8\cdot t\cdot x-1\,=\,16\cdot t^3\cdot (2\cdot x-t)}\)
\(\displaystyle{ 16\cdot t^3\cdot (2\cdot x-t)\,=\,-8\cdot t\cdot x-1}\)
\(\displaystyle{ 16\cdot t^3\cdot (2\cdot x-t)-(-8\cdot t\cdot x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -16\cdot t^4+32\cdot x\cdot t^3+8\cdot x\cdot t+1=0}\)
Jak widać otzymaliśmy równanie 4-tego stopnia ze względu na t.
Przyznaję - skorzystałem z progrmu matematycznego, ale to równaie jest
stopnia pierwszego ze względu na x. Zatem
\(\displaystyle{ x\cdot (32\cdot t^3+8\cdot t)-16\cdot t^4+1=0}\)
\(\displaystyle{ x\,=\,\frac{4\cdot t^2-1}{8\cdot t}}\)
Posatawiając do
\(\displaystyle{ y\,=\,t\cdot (2\cdot x-t)}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,t\cdot (2\cdot (\frac{4\cdot t^2-1}{8\cdot t})-t)}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,t\cdot (\frac{-1}{4\cdot t})}\)
\(\displaystyle{ y\,=\,\frac{-1}{4}}\)
I gdyby się nie uprościło, to otzymalibyśmy równanie krzywej w postaci parametrycznej.