[Ciągi] Ciąg anharmoniczny

[PFloyd]

Wykaż że ciąg anharmoniczny nie jest kombinacją liniową ciągów monotonicznych, ograniczonych (ciągi dodajemy, i mnożymy przez skalar "standardowo", tzn. \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \mathbb{N} }+(b_n)_{n\in \mathbb{N} }=(a_n+b_n)_{n\in \mathbb{N} }}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda (a_n)_{n\in \mathbb{N} }=(\lambda a_n)_{n\in \mathbb{N} }}\)).

(dowód znam, więc jeżeli widzieliście go kiedyś to go nie przepisujcie, tylko dajcie pogłówkować innym ;P )

[Piotr Rutkowski]

Hmm, nie znam dowodu, ale wydaje mi się, że jest to prosty wniosek korzystając z wahań skończonych. Oczywiście kombinacja liniowa jakichśtam ciągów monotonicznych to różnica wartości na brzegach, natomiast wahanie ciągu anharmonicznego może być dowolnie duże tzn. jest nieograniczone. To idzie tak łatwo czy jakiś błąd zrobiłem?

Podobne zadanko:
Niech f bedzie taką f-kcją \(\displaystyle{ f:\RR\rightarrow \mathbb{R}}\), że
\(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}} \ f(\frac{1}{n})=(-1)^{n}}\)
Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące \(\displaystyle{ g,h:\RR\rightarrow \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)-h(x)}\)

[MarcinT]

dodajmy ze to zadanko było zadaniem nr 1 na którymś tam II etapie OM.

[Sylwek]

A co to jest ciąg anharmoniczny?

[Wasilewski]

Zdaje się, że jest to ciąg:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}}\)

[Piotr Rutkowski]

dodajmy ze to zadanko było zadaniem nr 1 na którymś tam II etapie OM.

A to ciekawe. Mógłbyś zarzucić numer olimpiady? Bo zdaje mi się, że bez znajomości czegoś takiego jak podałem ciężko byłoby samemu wpaść na taki sposób (tzn. jak wyglądała wzorcówka?).

[MarcinT]

Zadanie nie było trudne wzorcówka jest intuicyjna, 50 OM