1) Określ ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru p
|x|+|y| = 2
x^2+y^2 = p^2
2) Dla jakich wartości parametru m nierówność (m+4)x^2 - 2mx +2m-6 < 0 jest spełniona dla każdej wartości x > 0 ?
Proszę o szczegółowy komentarz.
(2 zadania) Układ równań. Wyznacz wartość parametru
(2 zadania) Układ równań. Wyznacz wartość parametru
Zadanie 1:
|x| + |y| = 2, patrzymy co to za zbiór (nazwiemy go F):
Jeśli y>=0 to |y|=y i równanie ma postać:
y = -|x| + 2
Czyli w zbiorze F jest fragment wykresu funkcji y = -|x| + 2 leżący ponad osią OX (kolor czerwony):
Jeśli ypod osią OX (kolor czerwony):
Zatem zbiór F jest kwadratem o wierzchołkach w punktach: (2,0), (0,2), (-2,0) i (0,-2).
x^2 +y^2 = p^2 jest okręgiem o środku w początku układu współrzędnych O i promieniu p. Rozwiązując układ równań geometrycznie rysujemy sobie kwadraf F i ten okrąg, patrzymy, kiedy maja punkty wspólne (okręgi są zielone lub niebieskie):
Jeśli okrąg bedzie miał promień mniejszy niż |OB|=sqrt(2) (punkt B ma współrzędne (1,1) ), to nie będzie punktów przecięcia (mały zielony okrąg w środku).
Jesli bedziemy zwiększać promień, to dla p= sqrt(2) okrąg będzie styczny do kwadratu w punkcie B i jeszcze trzech punktach (okrąg niebieski wpisany w F)
Jeśli długość promienia będzie wieksza od sqrt(2), ale mniejsza od 2, to okrąg będzie przecinał kwadrat (każdy z boków kwadratu w dwóch miejscach) - zielony pierścień składa się z tych wszystkich okręgów.
Jeżeli p = 2, to okrąg bedzie styczny do kwadratu w punkcie A = (2,0) , czyli opisany na kwadracie F (też niebieski na rysunku)
Jeśli promień bedzie większy niż 2, nie będzie punktów wspólnych.
Zatem, liczba rozwiązań, w zależności od p:
0 - gdy p 2
4 - gdy p = sqrt(2) lub p = 2
8 - gdy sqrt(2) l
Zadanie 2:
Niech f(x) = (m^+4)x^2 -2mx +2m -6
W szczególnym przypadku gdy m= -4 wykresem funkcji y=f(x) jest prosta y= 8x - 14 sprawdzamy, czy spełniony jest warunek f(x)0: Okazuje się , że nie, bo dla x = 2 wartość f(2)= 16-14 = 2>0. Tym przypadkiem sie nie zajmujemy.
Czyli wykresem funkcji y=f(x) jest parabola. Popatrzmy na rysunek (to są mniej więcej parabole, niezbyt dokładne):
:arrow: Czerwona parabola to przypadek, gdy współczynnik przy x^2 jest dodatni. Łatwo widać, że dla każdej paraboli tego typu ("uśmiechniętej", ramiona paraboli są skierowane do góry) Znajdziemy x>0, dla którego f(x)> 0 - wykres gdzieś z prawej strony musi iść ponad osią OX, choćby nie wiem jak przesuwać parabolę w dół i w lewo ;)
Wiemy więc już, że parabola musi być "smutna", co daje warunek:
m + 4 m
:arrow: zielona parabola to przypadek, kiedy cała "smutna" parabola leży pod osią OX, co jest równoznaczne z tym, że delta f(x) jest -6 , co razem z pierwszym daje: -6
:arrow: moze być też przypadek taki, jak pokazany na przykładzie paraboli niebieskiej, czyli co prawda wierzchołek jest powyżej osi OX, ale obydwa pierwiastki są niedodatnie. A to ma miejsce, kiedy ich suma jest niedodatnia: (x1+x2) = 0
Wzory Viete'a do zastosowania w tym momencie: (x1+x2) = -b/a, (x1*x2) = c/a, co prowadzi nas do nierówności:
2m/(m+4)=0. Pamietamy, ze parabola jest smutna (m =0 i 2m - 60
Ale to się nie zgadza z założeniem, że msprzeczny.
Innych mozliwości połozenia paraboli nie ma (tzn są - ale nie spełniają na pewno warunków zadania - np odbicie paraboli niebieskiej wzgledem osi OY), podsumowujac mamy, że:
Odp: -6
|x| + |y| = 2, patrzymy co to za zbiór (nazwiemy go F):
Jeśli y>=0 to |y|=y i równanie ma postać:
y = -|x| + 2
Czyli w zbiorze F jest fragment wykresu funkcji y = -|x| + 2 leżący ponad osią OX (kolor czerwony):
Jeśli ypod osią OX (kolor czerwony):
Zatem zbiór F jest kwadratem o wierzchołkach w punktach: (2,0), (0,2), (-2,0) i (0,-2).
x^2 +y^2 = p^2 jest okręgiem o środku w początku układu współrzędnych O i promieniu p. Rozwiązując układ równań geometrycznie rysujemy sobie kwadraf F i ten okrąg, patrzymy, kiedy maja punkty wspólne (okręgi są zielone lub niebieskie):
Jeśli okrąg bedzie miał promień mniejszy niż |OB|=sqrt(2) (punkt B ma współrzędne (1,1) ), to nie będzie punktów przecięcia (mały zielony okrąg w środku). Jesli bedziemy zwiększać promień, to dla p= sqrt(2) okrąg będzie styczny do kwadratu w punkcie B i jeszcze trzech punktach (okrąg niebieski wpisany w F) Jeśli długość promienia będzie wieksza od sqrt(2), ale mniejsza od 2, to okrąg będzie przecinał kwadrat (każdy z boków kwadratu w dwóch miejscach) - zielony pierścień składa się z tych wszystkich okręgów. Jeżeli p = 2, to okrąg bedzie styczny do kwadratu w punkcie A = (2,0) , czyli opisany na kwadracie F (też niebieski na rysunku) Jeśli promień bedzie większy niż 2, nie będzie punktów wspólnych.Zatem, liczba rozwiązań, w zależności od p:
0 - gdy p 2
4 - gdy p = sqrt(2) lub p = 2
8 - gdy sqrt(2) l
Zadanie 2:
Niech f(x) = (m^+4)x^2 -2mx +2m -6
W szczególnym przypadku gdy m= -4 wykresem funkcji y=f(x) jest prosta y= 8x - 14 sprawdzamy, czy spełniony jest warunek f(x)0: Okazuje się , że nie, bo dla x = 2 wartość f(2)= 16-14 = 2>0. Tym przypadkiem sie nie zajmujemy.
Czyli wykresem funkcji y=f(x) jest parabola. Popatrzmy na rysunek (to są mniej więcej parabole, niezbyt dokładne):
:arrow: Czerwona parabola to przypadek, gdy współczynnik przy x^2 jest dodatni. Łatwo widać, że dla każdej paraboli tego typu ("uśmiechniętej", ramiona paraboli są skierowane do góry) Znajdziemy x>0, dla którego f(x)> 0 - wykres gdzieś z prawej strony musi iść ponad osią OX, choćby nie wiem jak przesuwać parabolę w dół i w lewo ;)
Wiemy więc już, że parabola musi być "smutna", co daje warunek:
m + 4 m
:arrow: zielona parabola to przypadek, kiedy cała "smutna" parabola leży pod osią OX, co jest równoznaczne z tym, że delta f(x) jest -6 , co razem z pierwszym daje: -6
:arrow: moze być też przypadek taki, jak pokazany na przykładzie paraboli niebieskiej, czyli co prawda wierzchołek jest powyżej osi OX, ale obydwa pierwiastki są niedodatnie. A to ma miejsce, kiedy ich suma jest niedodatnia: (x1+x2) = 0
Wzory Viete'a do zastosowania w tym momencie: (x1+x2) = -b/a, (x1*x2) = c/a, co prowadzi nas do nierówności:
2m/(m+4)=0. Pamietamy, ze parabola jest smutna (m =0 i 2m - 60
Ale to się nie zgadza z założeniem, że msprzeczny.
Innych mozliwości połozenia paraboli nie ma (tzn są - ale nie spełniają na pewno warunków zadania - np odbicie paraboli niebieskiej wzgledem osi OY), podsumowujac mamy, że:
Odp: -6