Przebieg zmienności funkcji

[szejk]

Witam prosze o podpowiedź w rozwiązaniu tych zadań, nie wiem jak je ugryść.

Trzeba znaleśc ekstrema i punkty przegięcia nastepujących funkcji:

\(\displaystyle{ y=-x^{3}+x^{2}}\)

\(\displaystyle{ y=x^{3}+x+1}\)

\(\displaystyle{ y=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+12}\)

\(\displaystyle{ y=x^{5}-5x^{4}+5x^{3}+1}\)

A tutaj ekstrema i rownania asymptot:

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-x+1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{3}+x}{x^{4}+x^{2}+1}}\)

[mcsQueeb]

Sporo tych przykladow, to moze podam schemat jak to robic,pokazujac na 1 przykladzie.

\(\displaystyle{ y = -x^{3} +x^{2}}\)
Szukamy pochodnej:
\(\displaystyle{ y' = -3x^{2} + 2x}\)
Teraz przyrownujemy pochodna do zera:
\(\displaystyle{ -3x^{2} + 2x = 0}\)
\(\displaystyle{ x(-3x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 V x=2/3}\)
Badamy monotonicznosc funkcji:
(-inf,0) pochodna przyjmuje wartosci ujemne czyli f(x) maleje, wiec f(x) w 0 ma minimum.
(0, 2/3) pochodna przyjmuje wartosci dodatnie czyli f(x) rosnie , wiec f(x) w 2/3 ma maximum.
(2/3,+inf) pochodna przyjmuje wartosci ujemne, wiec f(x) maleje

Czyli dla X=0 ma minimum, a dla X=2/3 ma maximum.
Teraz liczysz y min liczac f(0) oraz y max liczac f(2/3). Czyli podkladasz tego iksa do f(x)

[szejk]

Dzieki z opdowiedź, troche mi to rozjaśniło sytuacje.

A jeżeli x jest do potęgi 4-tej lub 5-tej to liczyć z tego pochodną i przyrównywać do 0 czy robić rozkład? Przytównywanie do 0 odnosi się do wszystkich przykładów?

[mcsQueeb]

Pochodna zawsze liczysz. No chyba ze jest taki prosty przyklad ze bez liczenia pochodnej mozesz jego monotnicznosc odczytac :p. Z tym przyrownaniem do 0 ; to jest tak ze rysujesz sobie wykres f'(x) czyli wykres pochodnej. Przyrownujesz do 0 aby znalezc miejsca zerowe. Znajdujesz miejsca zerowe i rysujesz wykres funkcji f'(x) i patrzysz gdzie przyjmuje jakie wartosci.

Powiedzmy ze z pochodnej wyjdzie Ci wielomian.Szukasz miejsc zerowych,normalnie rysujesz ten wielomian i patrzysz gdzie przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne. I powiedzmy ze ten wielomian f'(x) w przedziale (-inf,-1) przyjmuje wartosci dodatnie, w -1 bedzie mial maximum. Potem w przedziale (-1,2) maleje - wiec w 2 bedzie mial minimum. Potem nastepny przedzial (2,8) przyjmuje wartosci dodatnie - wiec w 8 bedzie mial maximum. Kumasz?:>

Tak , ten schemat odnosi sie do wszystkich przykladow.
1.Liczysz pochodna
2.Szukasz miejsc zerowych pochodnej.
3.Rysujesz wykres pochodnej.
4.Z wykresu pochodnej odczytujesz wartosci gdzie sa dodatnie a gdzie ujemne.
5.Po przedziale wartosci dodatnich w f'(x) wystepuje max , po przedziale wartosci ujemnych wystepuje min.
6.Liczysz max i min podkladajac te miejsca zerowe z pochodnej do twojej funkcji w zdadaniu.