Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji

[pangucio]

Witam. Tak jak w temacie: Jak moge zbadac parzystosc, nieparzystosc i roznowartosciowosc funkcji ??

Pozdrawiam.

[arigo]

z definicji
jesli f(x)=f(-x) to funkcja jest parzysta
f(-x)=-f(x) to funkcja jest nieparzysta

[Zlodiej]

Funkcja f(x) jest parzysta, gdy f(-x)=f(x)

Funkcja f(x) jest nieparzysta, gdy f(x)=-f(x)

Jak to sprawdzasz ? Normalnie ...

Mamy np. funkcję f(x)=x2.

\(\displaystyle{ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)}\) - funkcja parzysta

Czy też funkcję f(x)=x3.

\(\displaystyle{ f(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-f(x)}\) - funkcja nieparzysta

\(\displaystyle{ f:\rightarrow\R}\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

Sprawdzanie, czy funkcja jest różnowartościowa:

Mamy f(x)=2x-3

I sposób.

Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\R}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\)

\(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)\Longleftrightarrow 2x_1-3=2x_2-3 \Longleftrightarrow x_1=x_2}\)

II sposób.

Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\R}\) takie, że \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\)

\(\displaystyle{ x_1\neq x_2 \Longleftrightarrow 2x_1\neq 2x_2 \Longleftrightarrow 2x_1-3\neq 2x_2-3 \Longleftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)}\)

[pangucio]

OK. juz cos wiem. Troche zielony w tym jestem, ale czym sie rozni f(-x) od -f(x) (najlepiej jakby mi ktos to pokazal na przykladzie)

[Zlodiej]

Narysuj sobie te funkcje ... Zauważ, że funkcja parzysta jest symetryczna względem osi OY, a funkcja nieparzysta symetryczna względem początku układu współrzędnych.

Stąd właśnie się to bierze ... Np, dla funkcji parzystych dla pzeciwnych wartości argumentów funkcja przyjmuje te same wartości. f(2)=22=(-2)2=f(-2).

[olazola]

Tylko dodam, że -x musi należeć do dziedziny, czyli jako pierwszy warunek należy to sprawdzić.