\(\displaystyle{ \int_{-ln2}^{0} \frac{e ^{x} +1}{4e ^{2x} +1} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{e}^{e ^{2} } \frac{lnx+4}{\left( ln ^{3}x+4lnx \right)x} dx}\)
[ Dodano: 16 Kwietnia 2008, 21:35 ]
Uprzejmie prosze o pomoc...
Dwie całki oznaczone z e^x i ln
-
Molas.
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dom wariatów.
Dwie całki oznaczone z e^x i ln
Pierwsza całka - liczymy najpierw całke nieoznaczona:
\(\displaystyle{ t=e^x}\)
\(\displaystyle{ dt=e^x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{t+1}{(4t^2 + 1)t}dt}\)
Rozbijamy funkcje podcalkowa na sume ulamkow prostych:
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{(4t^2 + 1)t} \equiv \frac{At + B}{4t^2 + 1} + \frac{C}{t}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ t+1 \equiv (At + B)t + C(4t^2 + 1)}\)
\(\displaystyle{ t+1 \equiv t^2(A + 4C) +Bt + C}\)
Porownujemy wspolczynniki przy t:
\(\displaystyle{ A+4C=0 A=-4}\)
\(\displaystyle{ B=1}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
Nasza całka wyglada teraz tak: \(\displaystyle{ \int (\frac{-4t + 1}{4t^2 + 1} + \frac{1}{t}) dt}\)
Mozemy ja dalej rozbic: \(\displaystyle{ \frac{-1}{2} t \frac{8t}{4t^2 + 1}dt + t \frac{1}{4t^2+1}dt + t \frac{1}{t}dt}\).
Srodkowa mozemy zalatwic przez podstawienie:
\(\displaystyle{ k=2t}\)
\(\displaystyle{ dk=2dt}\)
I ostatecznie nasza całka: \(\displaystyle{ \frac{-1}{2} t \frac{8t}{4t^2 + 1}dt +\frac{1}{2} t \frac{1}{k^2+1}dk + t \frac{1}{t}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-1}{2}ln(4t^2+1) + \frac{1}{2}arctg(2t) + ln(t) + C=\frac{-1}{2}ln(4e^{2x}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^x) + ln(e^x) + C}\)
Liczymy teraz calke oznaczona - czyli: \(\displaystyle{ \int_{ -ln(2)}^{0} \frac{e^x+1}{4e^{2x}+1}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-1}{2}ln(4e^{-2ln(2)}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^{-ln(2)}) + ln(e^{-ln2}) + \frac{1}{2}ln(4) - arctg(2) - ln(1)=\frac{-1}{2}ln(4e^{-2ln(2)}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^{-ln(2)}) -ln2 + \frac{1}{2}ln(4) - arctg(2)}\)
Drugą całkę da się zrobić analogicznie:
\(\displaystyle{ t=ln(x)}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{x} dx}\).
\(\displaystyle{ t=e^x}\)
\(\displaystyle{ dt=e^x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{t+1}{(4t^2 + 1)t}dt}\)
Rozbijamy funkcje podcalkowa na sume ulamkow prostych:
\(\displaystyle{ \frac{t+1}{(4t^2 + 1)t} \equiv \frac{At + B}{4t^2 + 1} + \frac{C}{t}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ t+1 \equiv (At + B)t + C(4t^2 + 1)}\)
\(\displaystyle{ t+1 \equiv t^2(A + 4C) +Bt + C}\)
Porownujemy wspolczynniki przy t:
\(\displaystyle{ A+4C=0 A=-4}\)
\(\displaystyle{ B=1}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
Nasza całka wyglada teraz tak: \(\displaystyle{ \int (\frac{-4t + 1}{4t^2 + 1} + \frac{1}{t}) dt}\)
Mozemy ja dalej rozbic: \(\displaystyle{ \frac{-1}{2} t \frac{8t}{4t^2 + 1}dt + t \frac{1}{4t^2+1}dt + t \frac{1}{t}dt}\).
Srodkowa mozemy zalatwic przez podstawienie:
\(\displaystyle{ k=2t}\)
\(\displaystyle{ dk=2dt}\)
I ostatecznie nasza całka: \(\displaystyle{ \frac{-1}{2} t \frac{8t}{4t^2 + 1}dt +\frac{1}{2} t \frac{1}{k^2+1}dk + t \frac{1}{t}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-1}{2}ln(4t^2+1) + \frac{1}{2}arctg(2t) + ln(t) + C=\frac{-1}{2}ln(4e^{2x}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^x) + ln(e^x) + C}\)
Liczymy teraz calke oznaczona - czyli: \(\displaystyle{ \int_{ -ln(2)}^{0} \frac{e^x+1}{4e^{2x}+1}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-1}{2}ln(4e^{-2ln(2)}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^{-ln(2)}) + ln(e^{-ln2}) + \frac{1}{2}ln(4) - arctg(2) - ln(1)=\frac{-1}{2}ln(4e^{-2ln(2)}+1) + \frac{1}{2}arctg(2e^{-ln(2)}) -ln2 + \frac{1}{2}ln(4) - arctg(2)}\)
Drugą całkę da się zrobić analogicznie:
\(\displaystyle{ t=ln(x)}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{x} dx}\).
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3879
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Dwie całki oznaczone z e^x i ln
Wystarczy posłuchać podanej wyżej rady:
\(\displaystyle{ t = lnx \ \ \ dt = \frac{dx}{x} \\
t_1 = lne= 1 \\
t_2 = lne^2 = 2 \\
t_{1}^{2} \frac{t + 4}{t^3 + 4t} dt}\)
To również trzeba rozłożyć na ułamki proste.
\(\displaystyle{ t = lnx \ \ \ dt = \frac{dx}{x} \\
t_1 = lne= 1 \\
t_2 = lne^2 = 2 \\
t_{1}^{2} \frac{t + 4}{t^3 + 4t} dt}\)
To również trzeba rozłożyć na ułamki proste.