logarytm z parametrem
-
kkuubbaa88
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 9 mar 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
logarytm z parametrem
dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ (2log _{0,5} m-1)x ^{2} -2x+log _{0,5} m=0}\) ma co najmniej jeden pierwiastek
-
52.pl
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 9 mar 2008, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
logarytm z parametrem
Aby równanie miało conajmniej jeden pierwiastek, delta musi być \(\displaystyle{ \geqslant 0}\), czyli
\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4\log_{0,5}m\left(2\log_{0,5}m -1) qslant 0}\)
Zróbmy podstawienie \(\displaystyle{ t=\log_{0,5}m}\)
\(\displaystyle{ -8t^2 + 4t + 4 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2t^2 - t - 1 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 9 \sqrt{\Delta} = 3 t = 1 t = - \frac{1}{2} t\in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]}\)
\(\displaystyle{ \log_{0,5}m qslant -\frac{1}{2} \log_{0,5}m qslant 1}\)
\(\displaystyle{ m qslant \sqrt{2} m qslant \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ m\in\left[\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4\log_{0,5}m\left(2\log_{0,5}m -1) qslant 0}\)
Zróbmy podstawienie \(\displaystyle{ t=\log_{0,5}m}\)
\(\displaystyle{ -8t^2 + 4t + 4 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2t^2 - t - 1 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 9 \sqrt{\Delta} = 3 t = 1 t = - \frac{1}{2} t\in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]}\)
\(\displaystyle{ \log_{0,5}m qslant -\frac{1}{2} \log_{0,5}m qslant 1}\)
\(\displaystyle{ m qslant \sqrt{2} m qslant \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ m\in\left[\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right]}\)