całeczka

[jask0]

Jak rozwiązać poniższa całke ?


\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ } \frac{1}{2 \pi} exp(- \frac{1}{2}(x ^{2} +y ^{2}))dy}\)


Z góry dziekuje

[Lewap]

\(\displaystyle{ =\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac12x^2\right)\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac12y^2\right)dy=\ldots}\).

Ostatnia całka jest już bardzo znana. Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-ay^2)dy = \sqrt{\frac{\pi}{a}}}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\). Tutaj dla \(\displaystyle{ a=\frac12}\) mamy

\(\displaystyle{ \ldots=\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac12x^2\right)\sqrt{2\pi}=\frac{\exp\left(-\frac12x^2\right)}{\sqrt{2\pi}}}\)

[jask0]

ok jeszcze jedno pytanie ile wynosi całka

\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}exp(-ay^{2})dy}\) ?

[luka52]

\(\displaystyle{ \mathcal{I} = t\limits_1^{+\infty} e^{-ay^2} \, \mbox{d}y = ft( t\limits_0^{+\infty} - t\limits_0^1 \right) e^{-ay^2} \, \mbox{d}y = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} - \underbrace{\int\limits_0^1 e^{-ay^2} \, \mbox{d}y}_{\mathcal{J}}}\)
W celu obliczenia J podstawmy \(\displaystyle{ t = \sqrt{a} y, \quad \mbox{d}y = \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{a}}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{J} = \frac{1}{\sqrt{a}} t\limits_0^{\sqrt{a}} e^{-t^2} \, \mbox{d}t = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, \mbox{erf} \, (\sqrt{a} )}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ \mathcal{I} = \boxed{ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} ft( 1 - \mbox{erf} \, (\sqrt{a} ) \right)}}\)
Wynik możemy także przedstawić jako (imho ładniej wtedy wynik się prezentuje):
\(\displaystyle{ \mathcal{I} = \boxed{ \frac{\Gamma \! ft(\frac{1}{2}, a \right)}{2\sqrt{a}} }}\)