Ciąg geometryczny.

[nogiln]

Ciąg geometryczny składa się pieciu wyrazów, których suma wynosi 124. Iloraz sumy wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest 4,25. Wyznacz ten ciąg.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{a_{3}}{r^{2}}

a_{2}= \frac{a_{3}}{r}

a_{4}= a_{3} r

a_{5}= a_{3} r^{2}}\)
Układasz potrzebny układ równań wykorzystujący warunki zadania (wzlędem \(\displaystyle{ a_{3}}\)
i r)

[52.pl]

Mamy ciąg \(\displaystyle{ a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3,a_1q^4}\). Ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać

\(\displaystyle{ S_5 = a_1\frac{1-q^5}{1-q} = 124}\)

dodatkowo z treści zadania wiemy, że

\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_1q^4}{a_1q^2} = 4,25 \Rightarrow \frac{1+q^4}{q^2} = 4,25}\)

\(\displaystyle{ 1+q^4=4,25q^2}\)

Możemy zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t=q^2>0}\)

\(\displaystyle{ t^2-4,25t+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \left(\frac{17}{4}\right)^2 - 4 = \frac{289}{16} - \frac{64}{16} = \frac{225}{16}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \frac{15}{4} = 3,75}\)

\(\displaystyle{ \left( t = \frac{4,25-3,75}{2} = 0,25 \vee t = \frac{4,25+3,75}{2} = 4 \right) \wedge t>0}\)

zatem \(\displaystyle{ q = 2 q = 0,5}\).

Mając \(\displaystyle{ q}\) możesz, korzystając ze wzoru na sumę, wyliczyć \(\displaystyle{ a_1}\).

[alien]

52.pl nie zupełnie\(\displaystyle{ q=2, v, q=0,5, tylko, q=2, v, q=-2, v, q=0,5, v, q=-0,5}\) i teraz dodajesz do siebie a1+a2+a3+a4a+a5=124 zamieniasz to na sumę \(\displaystyle{ a_n=a_1*q^{n-1}}\) i wyliczasz a1
pozdro.

[52.pl]

52.pl nie zupełnie\(\displaystyle{ q=2, v, q=0,5, tylko, q=2, v, q=-2, v, q=0,5, v, q=-0,5}\)

oczywiście, że tak; równanie na \(\displaystyle{ q}\) jest czwartego stopnia i powinniśmy oczekiwać czterech rozwiązań - mój błąd, zagapiłem się