Witam, męczę się z całką \(\displaystyle{ \int_{}^{} t coswt e^{-st}dt}\). Próbowałem już przez części, ale nic ciekawego nie wychodzi, na podstawienie nie mam pomysłu.
Całe zadanie polega na obliczeniu z definicji transformaty Laplace`a funkcji \(\displaystyle{ x(t)=t coswt}\). Zatem można poznać wynik nie licząc z definicji. Wg. mnie : \(\displaystyle{ \frac{s^{2}-w }{(s^{2}+w)^{2}}}\). Ale jak w takim razie otrzymać ten wynik z tej całki?
Z góry dziękuję
Całka
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Całka
A potrafisz policzyć
\(\displaystyle{ \mathcal{I}(s) = t\limits_0^{+\infty} \, \cos wt e^{-st} \, \mbox{d}t}\)
? Na pewno tak! , 2 razy przez części i jest:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}(s) = \frac{s}{s^2 + w^2}}\)
Dalej zauważ, że:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty} t \, \cos wt \, e^{-st} \, \mbox{d}t = - t\limits_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial s} ft( \cos wt \, e^{-s t} \right) \, \mbox{d}t = - \mathcal{I}'(s) = \boxed{\frac{s^2 - w^2}{(s^2 + w^2)^2}}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{I}(s) = t\limits_0^{+\infty} \, \cos wt e^{-st} \, \mbox{d}t}\)
? Na pewno tak! , 2 razy przez części i jest:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}(s) = \frac{s}{s^2 + w^2}}\)
Dalej zauważ, że:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty} t \, \cos wt \, e^{-st} \, \mbox{d}t = - t\limits_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial s} ft( \cos wt \, e^{-s t} \right) \, \mbox{d}t = - \mathcal{I}'(s) = \boxed{\frac{s^2 - w^2}{(s^2 + w^2)^2}}}\)