Zbadaj zbieżność i znajdź granicę
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\) \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\),
Prosiłbym o w miarę szczegółowe rozwiązanie.
Zbadać zbieżność i znaleźć granicę
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4800
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1408 razy
Zbadać zbieżność i znaleźć granicę
\(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3} \\
x_2=\sqrt{3+\sqrt{3}} \\
x_3=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}} \\
... \\ \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } x_n = a \\
a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}} \\
a^2=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}} \\
a^2-a=3 \\
a^2-a-3=0 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{13} \\
a=\frac{1-\sqrt{13}}{2} a=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)
Jako, że mamy do czynienia tylko z liczbami dodatnimi, granica tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)
x_2=\sqrt{3+\sqrt{3}} \\
x_3=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}} \\
... \\ \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } x_n = a \\
a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}} \\
a^2=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}} \\
a^2-a=3 \\
a^2-a-3=0 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{13} \\
a=\frac{1-\sqrt{13}}{2} a=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)
Jako, że mamy do czynienia tylko z liczbami dodatnimi, granica tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)
-
Lewap
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 25 kwie 2005, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 7 razy
Zbadać zbieżność i znaleźć granicę
Ponieważ poprzednik zrobił jedynie drugą część zadania ("znajdź granicę") już przy założeniu, że pierwsza część ("zbadaj zbieżność') dała wynik pozytywny, więc może potwierdzę, że rzeczywiście go daje, to znaczy, że ciąg jest zbieżny.
Pokażemy, że ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest a) ograniczony i b) rosnący.
a) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_n}\).
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+1}}\). Mamy
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\).
Zatem nasz ciąg jest ograniczony.
b) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_{n+1}-x_n>0}\)
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_2=\sqrt{\sqrt{3}+3},x_1=\sqrt{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ x_2-x_1=\frac3{x_2+x_1}>0}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n>0}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0}\). Mamy \(\displaystyle{ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}+3},x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\). Stąd
\(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0=\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+2}+x_{n+1}}>0}\).
Zatem nasz ciąg jest rosnący.
Z a) i b) wynika, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny.
Pokażemy, że ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest a) ograniczony i b) rosnący.
a) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_n}\).
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+1}}\). Mamy
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\).
Zatem nasz ciąg jest ograniczony.
b) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_{n+1}-x_n>0}\)
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_2=\sqrt{\sqrt{3}+3},x_1=\sqrt{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ x_2-x_1=\frac3{x_2+x_1}>0}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n>0}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0}\). Mamy \(\displaystyle{ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}+3},x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\). Stąd
\(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0=\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+2}+x_{n+1}}>0}\).
Zatem nasz ciąg jest rosnący.
Z a) i b) wynika, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny.
-
elzabbul
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 14 wrz 2006, o 19:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 6 razy
Zbadać zbieżność i znaleźć granicę
Wielkie dzięki panowie Właśnie brakowało mi udowodnienia tego, nie wpadłem na tą indukcję.