Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{D}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dx dy}\)
Gdzie \(\displaystyle{ D=[(x,y),x\geqslant0,y\leqslant0,x^{2}+y^{2}\leqslant4]}\)
Całka podwójna po obszarze D
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Całka podwójna po obszarze D
Obszar to część koła o środku (0,0) i promieniu 2 znajdująca się w IV ćwiartce układu współrzędnych. Przechodzimy na współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ x=r\cos\phi,\,y=r\sin\phi}\)):
\(\displaystyle{ D:\,\begin{cases}\frac{3}{2}\pi\leq\phi\leq2\pi\\0\leq r\leq2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ I=\iint\limits_{D}r^2\cos^2\phi\sqrt{r^2}rdrd\phi= I=\iint\limits_{D}r^4\cos^2\phidrd\phi=\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(\int\limits_0^2r^4\cos^2\phi dr\right)d\phi =\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(\left[\frac{1}{5}r^5\cos^2\phi\right]_0^2\right)d\phi= t\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\frac{32}{5}\cos^2\phi d\phi= \frac{32}{5}\left[\frac{\phi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\phi)\right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}= \\\frac{32}{5}(\pi-\frac{3}{4}\pi+\frac{1}{4})= \frac{8}{5}(\pi+1)}\)
\(\displaystyle{ D:\,\begin{cases}\frac{3}{2}\pi\leq\phi\leq2\pi\\0\leq r\leq2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ I=\iint\limits_{D}r^2\cos^2\phi\sqrt{r^2}rdrd\phi= I=\iint\limits_{D}r^4\cos^2\phidrd\phi=\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(\int\limits_0^2r^4\cos^2\phi dr\right)d\phi =\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(\left[\frac{1}{5}r^5\cos^2\phi\right]_0^2\right)d\phi= t\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\frac{32}{5}\cos^2\phi d\phi= \frac{32}{5}\left[\frac{\phi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\phi)\right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}= \\\frac{32}{5}(\pi-\frac{3}{4}\pi+\frac{1}{4})= \frac{8}{5}(\pi+1)}\)