Granica funkcji f(x) a granica funkcji f'(x).

[methadone]

Powiedzmy, że mamy jakąś funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 4 x^{3} - 2 x + 9}\)

Mamy granicę ciągu \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } f(x)}\).

Czy przy obliczaniu granicy takiego właśnie ciągu, można zróżniczkować funkcję f(x) i liczyć granicę funkcji f'(x)?
Bo granicą tego ciągu to \(\displaystyle{ \infty - \infty}\) (symbol nieoznaczony), wiem, że jakoś to można poprzekształcać by wyszła granica, właściwa lub nie. Moje pytanie brzmi, czy taka sama granica będzie dla ciągu \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } f'(x)}\) w każdym przypadku?

Da się tutać zastosować coś w stylu reguły l'Hospitala?

Dla przykładu:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } 4 x^{2} - 9 = \infty}\)
i
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } (4 x^{2} - 9)' = \infty}\)

czy to zawsze tak działa? Można tak liczyć gdy wyjdzie symbol nieoznaczony typu \(\displaystyle{ \infty - \infty}\)?
Czy jednak są przypadki, że te granice wyjdą zupełnie inne, co będzie oznaczać że piszę bzdury i nie można tak liczyć?

[kuch2r]

Co do twojego przykladu, nie zawsze tak działa... nie trzeba szukac daleko,
niech:
\(\displaystyle{ f(x)=1}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=1}\)
Natomiast:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f'(x)=0}\)

[methadone]

Tyle, że na sprawdzianie nie miałem takich przykładów. Zawsze były jakieś "iksy" i wychodził symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty - \infty}\).
A tak się okazuje, że w takich przypadkach czasami to działa... tyle że to chyba nie jest poprawnie tak liczyć (?).

Jak więc tutaj zastosować regułę l'Hospitala?
Da się to przekształcić jakoś, by otrzymać symbole nieoznaczone \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\) ?

Miałem na sprawdzianie takie własnie przykłady, nie wiedziałem jak to zrobić, np. dla takiej funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 4x ^{3} - 3x + 11}\) , więc wymyśliłem to z tym różniczkowaniem i wynik chyba wychodził poprawny, tyle że obliczenia były złe skoro nie wolno tak liczyć....

[kuch2r]

no to przyklady z 'iksami'
\(\displaystyle{ f(x)=x\\f'(x)=1}\)

[methadone]

Ale przykłady były typu: \(\displaystyle{ f(x) = 4x ^{3} - 3x + 11}\)

Takie, gdzie wychodziło \(\displaystyle{ \infty - }\).

Tutaj to działało, wynik wychodził poprawny. Ale chcę wiedzieć jak to zrobić w 100% poprawnie i zgodnie z matematyką

[kuch2r]

No to pojedziemy tak jak matematyka nam mowi
Dla twojego przykladu:
\(\displaystyle{ f(x)=4x^3 - 3x+1}\)
Udowodnimy teraz, ze:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}\)
Na mocy definicji mamy, ze:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\iff \forall M>0\ \ \ \exists \alpha\in \mathbb{R}\ \ \ \forall x>\alpha \quad f(x)>M}\)
Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ M>0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=4x^3-3x+11>x^3>M}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x>\sqrt[3]{M}=\alpha\qquad _\square}\)

Mozna wykazac, ze dla dowolnej funkcji:
\(\displaystyle{ g(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} a_k x^{k}}\) dla \(\displaystyle{ a_n>0}\)
zachodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty}\)

[methadone]

Dobra, rozumiem już. Nie wiem czemu ubzdurałem sobie ten symbol nieoznaczony

Liczenie tego z l'Hospitala nie jest najlepszym pomysłem, lepiej tak:


Dzięki.