Udowodnij, że kąt ma miarę 135 stopni. Trójkąt prostok

kubi · Post autor: **kubi** » 1 kwie 2005, o 22:13

W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono przeciwprostokątną AB i obrano na przedłużeniach punkty D i E, tak, że AD=AC oraz BE=BC. Wykaż, że kąt DCE=135(stopni).

florek177 · Post autor: **florek177** » 2 kwie 2005, o 10:32

Dwa dodatkowe trójkąty są równoramienne : W tyrójkącie CDE suma kątów = 180 w tym jest jeden kąt 90; więc suma pozostałych kątów = 45. kąt DCE = 90 + 45.

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 3 kwie 2005, o 12:06

florek177,

Nie do końca rozumiem ... Przecież trójkąt CDE nie jest prostokątny.

kubi,

Niech trójkąt prostokątny będzie trójkątem ABC z przeciwprostokątną AB. Z treści zadania wynika, że powstaną nam dwa nowe trójkaty: ADC i BCE. Skoro AD=AC i BE=BC wnioskujemy, że zachodzi równość kątów ACD=ADC i BCE=BEC.
Wiemy, że suma miar kątów trójkąta ECD wynosi 180 stopni. Oznaczmy kąt CEB jako \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz kąt CDA jako \(\displaystyle{ \beta}\).

\(\displaystyle{ 180^o=2\beta+2\alpha+ACB=2\beta+2\alpha+90^o\Longleftrightarrow +\beta=45^o}\)

\(\displaystyle{ DCE=\alpha+\beta+90^o=135^o}\)