Funkcja holomorficzna

[m872]

Znaleźć obszar w ktorym funkcja \(\displaystyle{ w(z) = \left| x^{2} - y^{2} \right| + 2i \left|xy \right| , z=x+iy}\) jest holomorficzna.

[Lewap]

Wystarczy zbadać dla jakich \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzą równania Cauchy'ego-Riemanna. Oznaczmy \(\displaystyle{ u=|x^2-y^2|,\ v=2|xy|}\). Mamy cztery ewentualności:

1. \(\displaystyle{ u=x^2-y^2,\ v=2xy}\)
2. \(\displaystyle{ u=y^2-x^2,\ v=2xy}\)
3. \(\displaystyle{ u=x^2-y^2,\ v=-2xy}\)
4. \(\displaystyle{ u=y^2-x^2,\ v=-2xy}\)

dla odpowiednich \(\displaystyle{ x,y}\). Równania C-R

\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}\)

zachodzą w 1. dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\), w 2. tylko dla \(\displaystyle{ x=y=0}\), w 3. jak w 2. i w 4. jak w 1. Więc jednocześnie są spełnione tylko dla \(\displaystyle{ x=y=0}\) i wydaje mi się, że jest to jedyny punkt, w którym ta funkcja jest holomorficzna.

[micholak]

jesli wyszedl tylko jeden punkt to funkcja holomorficzna nie jest. To jest wlasnosc na zbiorach otwartych, a jesli ma byc holomorficzna w punkcie to ma byc holomorficzna na jakims jego otoczeniu.

[Lewap]

Fakt Rozpędziłem się trochę. Tak, czyli ta funkcja nie jest holomorficzna, przepraszam za zmyłkę.