Całka oznaczona (podwójna)

[luka52]

Na rozgrzewkę:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}_2 = t\limits_0^1 t\limits_0^1 \frac{\mbox{d}x \, \mbox{d}y}{1 - (xy)^2}}\)

A jako zadanie właściwe:

\(\displaystyle{ \boxed{\mathcal{I}_n = t\limits_0^1 t\limits_0^1 \frac{\mbox{d}x \, \mbox{d}y}{1 - (xy)^n}}}\)

[luka52]

Nikt nawet nie próbuje

To może podpowiem - \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - (xy)^n}}\) to suma nieskończonego ciągu geometryczngeo

[jasny]

\(\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1\frac{dxdy}{1-(xy)^n}=\int_0^1\int_0^1(1+(xy)^n+(xy)^{2n}+(xy)^{3n}+...)dxdy= \sum_{k=0}^{\infty}\int_0^1\int_0^1(xy)^{kn}dxdy=\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^1(\int_0^1(xy)^{kn}dx)dy =\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^1([\frac{1}{kn+1}y^{kn}x^{kn+1}]_0^1)dy =\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^1\frac{1}{kn+1}y^{kn}dy =\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{kn+1}[\frac{1}{kn+1}y^{kn+1}]_0^1)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(kn+1)^2}=?}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(1 + kn)^2} = \frac{1}{n^2} (-1)^{1+1} 1! \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{\left(k + \frac{1}{n} \right)^{1+1}} = \\ \mbox{\, \, \,}= \boxed{\frac{\psi^{(1)} ft( \frac{1}{n} \right)}{n^2}}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \psi^{(m)}(z)}\) to

Prawda, że proste?

[Emiel Regis]

luka52 nam oszalał.

[luka52]

Drizzt, bez przesady... rozwiązanie tej całki wymagało podstawowej wiedzy z zakresu sumy nieskończonego szeregu geometrycznego (z ładnym zapisem z sigmą) - wiedza licealna; oraz podstawowa znajomość całkowania.
Przedstawienie końcowego wyniku z funkcją polygamma to taki lekki przerost formy nad treścią, ale można się bez niego obejść spokojnie.

[Emiel Regis]

Chodziło mi także o to że sam ze sobą zacząłes rozmawiać: p

A co do zadania to tak de facto nie policzyliscie tej całki... Pytanie jak policzyć wartości funkcji polygamma (czyli sumę naszego szeregu) dla różnych n? Bo przecież pytamy o wartość liczbową dla jakiegoś ustalonego n.

Samo zsumowanie np szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2}}\)
nie jest trywialne (ja bym to za pomocą szeregu Fouriera zrobił, nie wiem czy da się prościej) a co dopiero tego co jest u nas. Także luka52 masz zajęcie przed maturą; )

Dla rozgrzewki policz dla n=3 : ]

[luka52]

Dla rozgrzewki policz dla n=3 : ]

co - \(\displaystyle{ \psi^{(1)} ft( \frac{1}{3} \right)}\) - o nie... raczej się to ładnie nie uprości :/

Pytanie jak policzyć wartości funkcji polygamma (czyli sumę naszego szeregu) dla różnych n?

Wiem jedynie że \(\displaystyle{ \mathcal{I}_1}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{I}_2}\) wyrażają się w "ładny" sposób (do sumowania zostają charakterytyczne szeregi), ale czy oprócz tego są jeszcze jakiś specjalne przypadki - nie wiem Może ktoś jest chętny do poszukiwać

Chodziło mi także o to że sam ze sobą zacząłes rozmawiać: p

Takie czasy... :/

[ Dodano: 4 Kwietnia 2008, 18:53 ]

Samo zsumowanie np szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2}}\)
nie jest trywialne

Owszem jest!
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2} = + }\)

[Emiel Regis]

hehe, a własnie że nie, szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2}}\)
nie wynosi nieskonczoność tylko on po prostu nie ma sensu, bo nie dzieli się przez zero.
Oczywiscie mialem na mysli
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}}\)


Jak lubisz zwarte zapisy sum za pomocą ciekawych funkcji to policz dla n=4.
Wtedy jako wynik masz
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}K+\frac{\pi^2}{16}}\)
gdzie K to stała Catalana.

[luka52]

Zgadza się. Wystarczy nieco przekształcić równanie (8) z ale niestety jeśli chodzi o jakieś bardziej wymyślne (a przede wszystkim elementarniejsze) sposoby to nie mam pojęcia .